Donner la dénition d'une base et de la dimension d'un espace vectoriel E

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Surveillé 7 - durée : 4h 1 juin 2016 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Cours.

1. Donner la dénition d'une base et de la dimension d'un espace vectoriel E.

2. Enoncer la propriété de positivité de l'intégrale.

3. Calculer l'espérance d'une variable aléatoireX suivant une loi de PoissonP(λ). Exercice I.

1. Etudier la nature, et, si possible, calculer l'intégrale impropre Z +∞

−1

e^−3tdt.

2. a. Citer une expérience modélisable par une loi géométrique de paramètre 1 6. b. Créer un programme Scilab permettant de simuler 1000réalisations d'une loiG

1 6

.

Exercice II.

1. Montrer que F =









 x y z





2x+ 3y+z= 0







est un sous-espace vectoriel de M_3,1(R).

Soit l'application f :M_2,1(R)−→ M_3,1(R) dénie par f x

y

=



 x

−y

−2x+ 3y



. 2. Montrer que f est une application linéaire.

3. Montrer que Ker(f) = 0

0

. Que peut-on en déduire ? 4. Sans aucun calcul, expliquer pourquoi f n'est pas surjective.

5. Déterminer une base et la dimension de Im(f). Exercice III.

On considère une suite de tirages avec remise dans une urne contenant 3 boules bleues et une boule rouge.

On noteX la variable aléatoire égale au rang où apparaît pour la première fois la séquence constituée de deux boules rouges consécutives.

Par exemple, si les premiers tirages ont donné : BBBRBRR alors X= 7. On note, pour n∈N^∗, et k∈[[1;n]]:

Rk ={le k^e tirage donne une boule rouge}, Bk=Rk et pn=P(X =n).

Partie A.

1. Calculer p₁ ,p₂, p₃ et p₄.

2. Montrer que les évènements B1, R1∩B2 et R1∩R2 forment un système complet.

3. Pour n∈N^∗, décomposer P(X=n+ 2), à l'aide de la formule des probabilités totales et du système complet précédent.

1/2

4. En déduire, en expliquant précisément le raisonnement, que :

∀n∈N^∗, p_n+2= 3

4p_n+1+ 3 16p_n. 5. Montrer que ∀n∈N^∗, pn= 1

4√ 21





3 +√ 21 8

!n−1

− 3−√ 21 8

!n−1

. Partie B.

1. a. Calculer

+∞

X

n=1

pn. (On admet que cette série est bien convergente.) b. Que peut-on en déduire ?

2. a. Justier l'existence de l'espérance de X. (On donne √

21'4.6) b. Montrer que E(X) = 20.

3. Calculer V(X). (c'est un entier.)

Exercice IV.

On considère la fonction f dénie sur R^∗+ par f(x) = 2 x²

Z x 0

t e^t+ 1dt. 1. a. Montrer que ∀x >0, ∀t∈[0;x], t

e^x+ 1 ≤ t e^t+ 1 ≤ t

2.

(Le résultat pourra éventuellement être obtenu à l'aide d'une succession d'encadrements.) b. Etablir alors que 1

e^x+ 1 ≤f(x)≤ 1 2.

(On intégrera l'encadrement précédent, et on utilisera certaine(s) propriété(s) de l'intégrale.) c. En déduire lim

x→0⁺f(x).

d. La fonction f est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.

2. On pose, pour x≥0, H(x) = Z x

0

t e^t+ 1dt.

a. Montrer que H puisf sont de classeC¹ surR^∗₊. b. Vérier que ∀x >0, f⁰(x) =−4

x³g(x),

avec gla fonction dénie sur R+ par g(x) =H(x)− x² 2(e^x+ 1). c. Vérier que ∀x≥0, g⁰(x) = x²e^x

2(e^x+ 1)². d. Calculerg(0).

e. En déduire alors successivement les variations de g et le signe de g surR+, puis le sens de variations def surR^∗+.

3. a. Montrer que, pour tout réelt≥0, on a 0≤ t

e^t+ 1 ≤1. b. En intégrant, en déduire que ∀x >0, 0≤f(x)≤ 2

x. c. Calculer alors lim

x→+∞f(x).

2