DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL (ON SE LIMITERA AU CAS DE LA DIMENSION FINIE). RANG. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL (ON SE LIMITERA AU CAS DE LA DIMENSION FINIE). RANG. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Espaces vectoriels et dimension

[Gou��, §�.�, p��–��]

SoitKun corps commutatif. SoitEunK-espace vectoriel dont on rappelle la définition : D��. [�� ,��-�� ]

• (E,+, .)est unK-espace vectoriel si(E,+)est un groupe commutatif et si la loi externe satisfait pour tout⁄, µ œ Ketx, y œ E,(⁄+µ).x = ⁄.x+µ.x, ⁄.(x+y) =

⁄.x+⁄.y, ⁄.(µ.x) = (⁄µ).x, 1_K.x=x,

• Un sous-ensemble non videFdeEest un sous-espace vectoriel deEs’il est stable par les lois deE, c’est-à-dire si pour tout⁄œKetx, yœF, on a⁄.x+yœF.

E��. Une intersection et une somme de sous-espaces vectoriels deEest un s.e.v. de E. On peut donc définirVect(A).

D��. [�� ,��,��,�� ]

Soit(ei)iœIune famille d’éléments deE.

• (ei)iœI est dite génératrice deElorsqueVect((ei)iœI) = E. LorsqueEpossède une famille génératrice finie, on dit queEest de dimension finie,

• (ei)iœIest dite libre lorsque’(⁄i)iœI œ K^I,q

iœI⁄iei = 0 =∆ ’iœI,⁄i = 0. Si ce n’est pas le cas, la famille est dite liée,

• Si(ei)iœIest libre et génératrice, on dit que c’est une base deE.

• Soientq (Ei)iœI des s.e.v de E. On dit que E est la somme directe des (Ei)iœI si

iœIEi=Eet que la décomposition de tout vecteur deEdans(Ei)iœIest unique.

E��.

• )1,Ô2,Ô3*

est libre sur leQ-espace vectorielR.

• La base canonique deE=Kⁿ,

• Une sous-famille (/sur) d’une famille libre (/génératrice) deEest libre (/génératrice),

• K[X]n’est pas de dimension finie,

• Unicité de la décomposition dexœVect((ei)iœI)lorsque(ei)iœIest libre.

T��. [�� ]

SoientLune famille libre etGune famille génératrice deE. Alors il existe une baseBde telle queLµBµLﬁG.

C��. SiEest de dimension finie, il admet une base. De plus, toute base deEa même cardinal appelé dimension deE, et notédim(E).

Toute famille libre (resp. génératrice) est de cardinal inférieur (resp. supérieur) ou égal à dim(E)et en cas d’égalité, c’est une base.

P��. [�� -�� E]

SoientEde dimension finien, etF1, F2des sous-espaces vectorielsdeE.

• F1est de dimension finie etdim(F1)Ædim(E), etdim(F1) = dim(E)≈∆F1=E.

• [�� G��]On adim(F1+F2) + dim(F1ﬂF2) = dim(F1) + dim(F2).

• F1etF2sont supplémentaires dansE(c’est-à-direE = F1üF2) si et seulement si au moins�des propriétés suivantes sont vérifiées :

dim(E) = dim(F1) + dim(F2) F1ﬂF2={0} E=F1+F2

II. Rang d’une application linéaire

[Gou��, §�.�–�.�, p��–��]

SoientE, Gdes espaces vectoriels de dimension finienetm.

II. A. Applications linéaires

D��. [�� ]

f :E≠æGest linéaire sif(⁄.x+µ.y) =⁄.f(x) +µ.f(y)pour⁄, µœKetx, yœE.

L(E, G)est l’ensemble des applications linéaires deEdansGetL(E) =L(E, E).

R��. Im(f)etker(f)sont des s.e.v. etdim(Im(f))Ædim(E)<+Œ. Une application linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur une base deE.

D��. [�� ’�� ]

Pourf œL(E, G), on noterg(f)et on appelle rang defl’entierdim(Im(f)).

T��. [�� ]

Soitf œL(E, G). Alorsdim(ker(f)) + rg(f) = dim(E).

A��. [MM��, §�.�, p��] Pourf œL(E):

• (rg(f^k))kœNest décroissante stationnaire et(rg(f^k)≠rg(f^k+1))kœNest décroissante.

• il existeP œKdim(E)²+1[X]tel queP(f) = 0L(E).

C��. Lorsquen=m, on afbijective≈∆fsurjective≈∆finjective.

A��. [BMP��, p��] Existence et unicité du polynôme interpolateur deL��.

[Gri��, §�.�, p��] Contre-exemple en dimension infinie :P ‘≠æP^Õ.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.

II. B. Représentations matricielles d’une application linéaire

D��. [�� ’�� ]

Soitf œ L(E, G). SiB = (e1, . . . , en)etCsont des bases deEetG, on définit la matrice M_B,C(f)œM^m,n(K)defdans les basesBetCcomme la matrice de vecteurs colonnes les (f(ei))1ÆiÆnexprimés dans la baseC.

D��. [�� ’�� ’�� ]

On définitrg(A)le rang deA œ M^m,n(K)comme le rang de la famille de ses vecteurs colonnes(x1, . . . , xn), c’est-à-dire l’entierdim(Vect((xi)1ÆiÆn)).

P��. SiAœM^m,n(K)est de rangr, alorsAest équivalente à3 Ir 0

0 0 4

.

C��. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang.

P��. Le rang d’une matrice est l’ordre du plus grand mineur non nul.

P��. [�� ]

• Pour toutAœM^n,m(K), il existeE, G,fetB,Ctels queA=M_B,C(f).

• Deux matrices deM^n,m(K)représentent une même application linéairef œ L(E, G) dans des bases di�érentes si et seulement si elles sont équivalentes.

• rg(A) = rg(f)lorsqueAest une matrice def.

A��. [Gou��, §�/�, p��/��]

• La méthode du pivot deG��permet d’obtenir le rang d’une matrice,

• SoientM œMⁿ(K)etN œGLⁿ(K). Alorsrg(M N) = rg(N M) = rg(M).

III. Les conséquences de la dimension finie

III. A. Espaces vectoriels normés

[Gou��, §�.�/�.�, p��/��]

Soit(E,Î.Î)un espace vectoriel normé réel ou complexe de dimension quelconque (on suppose la notion de norme connue).

T��. [�� R��]

Eest de dimension finie si et seulement si B^E(0,1)est compacte.

T��. SiEest de dimension finie, alors toutes les normes surEsont équivalentes.

E��. Contre-exemple en dimension infinie :Î.Î1etÎ.Î_ŒsurC([0,1],R).

Contre-exemple sur un corps non complet :Q[Ô2],N1(a+bÔ2) =|a|+|b|etN2=|.|.

C��. SiEest de dimension finie, les compacts deEsont les fermés bornés.

T��. [�� G��-S��] [Rom��, §��.�, p��–��]

Supposons queÎ.Îdérive d’un produit scalaireÈ.|.Í(Eest alors un espace euclidien).

Pour toute famille libre(xi)1ÆiÆpdeE, il existe une unique famille orthonormée(ei)1ÆiÆp

telle que pour toutkœJ1, pK,Vect(e1, . . . , ek) = Vect(x1, . . . , xk)etÈxk|ekÍ>0.

III. B. Dualité

[Rom��, Ch��, p��–��]

D��. [�� ]

On noteE^ú=L(E,K)l’espace dual deE.

A toute baseB= (e1, . . . , en)deE, on associe la familleB^ú= (e^ú₁, . . . , e^ú_n)deE^úoùe^ú_iest la projection surVect(ei)parallèlement àVect((ej)j”=i).

P��. B^úest une base deE^ú, appelée base duale deB. Ainsi,E^úest de dimension finie etdim(E^ú) = dim(E).

Par ailleurs, toute base deE^úest la base duale d’une unique baseBdeE.

A��. [�� ]

Si„œE^úest non identiquement nulle, son noyau est un hyperplanH. Si„₁, . . . ,„pœE^ú, alorsdim(ﬂ^pi=1ker(„i)) = dim(ﬂ^pi=1Hi)Øn≠p.

D��. [��]

• L’othogonal dansE^úde{0}µXµEestX^‹={„œE^ú|’xœX,„(x) = 0},

• L’othogonal dansEde{0}µY µE^úestY^¶={xœE|’„œE,„(x) = 0}. Ce sont des sous-espaces vectoriels deE^úetErespectivement.

P��. SiF est un sous-espace vectoriel deE, alorsdim(F) + dim(F^‹) = dim(E). De même siGest un sous-espace vectoriel deE^ú,dim(G) + dim(G^¶) = dim(E).

D��. [��]

Pourf œL(E, F), on définit l’application transposée ^tf :F^ú≠æE^ú,„‘≠æ„¶f.

A��. SiA=M_B,C(f), alorsM_B^ú,C^ú(^tf) =A^€. On en déduit que ^t(v¶u) = ^tu¶ ^tv.

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IV. Applications des espaces vectoriels de dimension finie

IV. A. Réduction d’endomorphismes

^[MM��]

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien. On suppose les notions de polynôme d’en- domorphisme et de valeurs/vecteurs/espaces propres connues.

L��. [�� ]

Soit(Pk)1ÆkÆNune famille de polynômes deux à deux premiers entre eux etf œL(E). Alors en posantP=rN

k=1Pk, on aker(P(f)) =mN

k=1ker(Pk(f)).

De plus, le projecteur deker(P(f))sur l’un de ces sous-espaces parallèlement à la somme des autres est un polynôme enf.

E��. En pratique, on utilise souvent ce lemme avecPtel queker(P(f)) = E. On obtient alors une décomposition deEen sous-espaces stables, carker(Q(f))est stable parf pour tout polynômeQ.

D��. [�� ]

On définit le polynôme caractéristique deAœMⁿ(K)par‰A(X) = det(XIn≠A).

On définit le polynôme caractéristique def œ L(E)comme le polynôme caractéristique d’une matrice def dans n’importe quelle base deE(en remarquant que‰Aest invariant par similitude). On le note‰f.

T��. [�� C��-H��]

Pour toutf œL(E),‰f(f) = 0.

T��. [�� ’�� ]

Un endomorphismef œL(E)est trigonalisable si et seulement si‰fest scindé.

T��. [�� J��] [Rom��, Ch��, p��–��]

Soitf œL(E)de polynôme caractéristique scindé. Soient⁄₁, . . . ,⁄mles valeurs propres def.

Il existe des entiersd_j,1Ø· · ·Ødj,rjpourjœJ1, mKtels que dans une certaine baseBde E,M_B(f)soit diagonale par blocs avec les blocs(Bj,k)1ÆjÆm

1ÆkÆrj

, oùBj,k=⁄jIdj,k+Jdj,k

en notantJd= Q cc cc a

0 . . . 0

1 0

0 1 ... ... ... ... ... 0

0 . . . 0 1 0

R dd dd

bœM^d(K).

IV. B. Extensions de corps et nombres algébriques

[Per��, §�.�, p��–��]

On ne considère que des corps commutatifs.

D��. [�� ,��]

SoientKetLdeux corps tels queKµL. On dit queLest une extension de corps deK.

Lest alors unK-e.v.. Lorsquedim(L)est fini, on note[L : K] = dim(L)et on l’appelle le degré deLsurK. On dit alors que l’extension est finie.

E��. RµC,QµQ(i).

T��. [�� ]

SoientK,L,Mdes corps,(ei)iœI une base deLsurK,(fj)jœJune base deMsurL. Alors (eifj)(i,j)œI◊Jest une base deMsurK.

En particulier, lorsque deux des degrés d’extensions sont finis, le troisième aussi et on a [M:K] = [M:L][L:K].

D��. [�� ,��]

SoitLune extension deK, soit–œL. Soit„:K[T]≠æLle morphisme d’anneaux tel que

„_|K= idet„(T) =–.

Si„est injectif, on dit que–est transcendant surK. Sinon,–œ Lest algébrique surKet P œK[X]unitaire tel queker(„) = (P).Pest appelé polynôme minimal de–.

E��. Ô2, isont algébriques surQ.eetﬁsont transcendants surQ.

T��. [�� ’�� ]

SoitLune extension deK. Pour–œL, on a :

–est algébrique surK≈∆K[–] =K(–)≈∆dim(K[–])<+Œ

A��. Pour tout entiern œ Net toute famillep₁, . . . , pnd’entiers supérieurs ou égaux à�, tous sans facteur carré, et premiers deux à deux, on a :

[Q[{Ôpi}1ÆiÆn] :Q] = 2ⁿ

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��

Exemple(s) du pivot deG��, schémas de degrés d’extensions de corps ...

��

La théorie de l’algèbre linéaire en dimension finie est fondamentale en mathématiques dans de nombreux domaines via les propriétés de réduction. Il y a deux visions possibles : d’un côté voir les applications linéaires dans des bases adaptées, en visualisant l’image de la base, et de l’autre les matrices associées qui permettent des calculs matriciels et des algorithmes. On va voir qu’il faut savoir jongler entre les deux!

Dans la première partie, on insiste sur la propriété d’existence de base en dimension finie et le théorème de la base incomplète.

Ensuite, la théorie du rang avec les deux visions et leurs liens (dernier théorème). On regardera les applications à l’étude d’endomorphismes.

Dans un troisième temps, on se demandera ce que la dimension finie apporte dans un espace vectoriel normé. Une conséquence notable est le procédé d’orthogonalisation deG��- S��. On introduira également la notion de dualité qui est très importante de par ses pro- priétés intéressantes que l’on va pouvoir notamment appliqué dans la partie suivante.

Enfin on regardera le cas particulier de l’étude des endomorphismes. On introduit des résul- tats classiques où la dimension finie joue un rôle important, notamment la décomposition de J��proposée en développement où l’on va raisonner par récurrence sur la dimension (clas- sique) et utiliser des propriétés de dualité. Notons également des résultats en théorie des corps qui utilisent des théorèmes vus dans la leçon.

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C’est une leçon très dense, qui se complète très bien avec des morceaux d’autres leçons. Il faut faire des choix.

��

Q Quelle est la première utilisation du théorème de la base incomplète?

R Il existe des bases en dimension finie.

Q Calcul de rangs de matrices.

Q Quelle est la dimension deE/F?

R Utiliser le théorème du rang appliqué à la projection.

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[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Gri��] J.G��:Algèbre linéaire. Cépaduès,�^èmeédition,��.

[MM��] R.M��et R.M��:Algèbre linéaire : Réduction des endomorphismes. De Boeck,

�^èmeédition,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

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￿￿￿ DIMENSION D’UN ESPACE VECTORIEL (ON SE LIMITERA AU CAS DE LA DIMENSION FINIE). RANG. EXEMPLES ET APPLICATIONS.