La théorie n’est pas très compliquée : on reprend la théorie des séries à termes réels ou complexes, on adapte aux espaces vectoriels normés.
L’application la plus fréquente est l’étude de séries matricielles (ou d’endomor- phismes) qu’on rencontre dans d’assez nombreux énoncés.
I Séries à termes dans un espace vectoriel normé de dimension finie
I.1 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme
Soit (E,k.k) unK-espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit (un)n∈Nune suite d’éléments deE.
Etudier la série de terme généralun, c’est étudier la suite de terme généralSn (qui est une suite d’éléments deE), où
Sn=
n
X
k=0
uk.
Snest la somme partielle d’ordren(ou de rangn) de la série.
Lorsque la suite (Sn)n∈Nconverge, on dit que la série de terme généralunconverge.
Pour abréger, on écrit souvent que la sérieX
unconverge, ou que la sérieX
n
un converge (si plusieurs lettres interviennent dans l’expression deun), ou que la série X
n≥n0
unconverge.
Lorsque la suite (Sn)n∈Ndiverge, on dit que la série de terme généralundiverge.
Etudier la nature de la série P
un, c’est déterminer si cette série converge ou diverge.
Dans le cas de convergence, la limite de la suite des sommes partielles est ap- pelée somme de la sérieP
un, et est notée
+∞X
n=0
un. On a donc
+∞X
n=0
un= lim
p→+∞
³Xp
n=0
un´
lorque cette limite existe.
Une série divergente n’a pas de somme. Le symbole
+∞X
n=0
unn’a alors pas de sens.
On ne devrait d’ailleurs se permettre d’écrire ce symbole qu’une fois démontrée la convergence de la série.
I.2 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière
Proposition Pour queP
unconverge, il est nécessaire que la suite (un) converge vers 0E. Si ce n’est pas le cas, on dit que la sérieP
un diverge grossière- ment.
I.3 Espace vectoriel des séries convergentes
Proposition Si les séries de termes généraux respectifsunetvnconvergent dans leK-espace vectoriel normé de dimension finie (E,k.k), si λ∈K, alors la série de terme généralλun+vnconverge, et
+∞X
n=0
(λun+vn)=λ+∞X
n=0
un +
+∞X
n=0
vn Autrement dit, l’ensemble des suites (un) telles que la sérieP
un converge est un espace vectoriel, sous-espace de l’espace vectoriel des suites d’éléments de E, et l’application qui à une telle suite (un) associe la somme de la sérieP
un
est linéaire.
I.4 Indépendance par rapport à la norme
Tout ce qui précède ne dépend pas du choix de la norme surE, car elles sont toutes équivalentes. On peut donc parler de convergence d’une suite d’élé- ments d’un espace vectoriel de dimension finie, sans faire référence à une norme particulière.
Dans un espace vectoriel qui n’est pas de dimension finie, une série peut conver- ger pour une norme et diverger pour une autre norme, converger vers deux li- mites différentes pour deux normes différentes. . .Mais c’est hors-programme.
I.5 Caractérisation par les composantes dans une base
On noteB=(e1, . . . ,ep) une base deE.
Soit (un)n∈N une suite d’éléments deE; pour toutn, on peut décomposerun dans la baseB:
un=
p
X
i=1
un(i)ei
Ainsi, pour chaquei entre 1 etp, (u(in))n∈Nest la suite desi-èmes composantes de la suite (un).
Proposition La sérieX
unconverge si et seulement si, pour chaquei dans {1, . . . ,p}, la sérieX
un(i)converge. Et, le cas échéant :
+∞X
n=0
un=
p
X
i=1
h+∞X
n=0
u(in)i ei
Autrement dit, la somme de la série a pour composantes les sommes des séries des composantes (dans le cas de convergence, bien entendu).
En particulier, si (un) est une suite de nombres complexes,P
unconverge si et seulement siP
Re(un) etP
Im(un) convergent, et si c’est le cas, on a
+∞X
n=0
un=
+∞X
n=0
Re(un) + i
+∞X
n=0
Im(un)
I.6 Restes d’une série convergente
On considère ici une suite (un)n∈N telle que la série P
un converge. On note (Sn)n∈Nla suite des sommes partielles, qui converge donc versS, somme de la série.
Définition On appelle reste d’ordren (ou : de rang n) de la série conver- genteP
unl’élément deE :
Rn=S−Sn
La suite (Rn)n∈Nest la suite des restes de la série convergenteP un. Proposition La suite des restes d’une série convergente converge vers 0E. On peut écrire :
Rn=S−Sn
= lim
p→+∞
¡
p
X
k=0
uk¢
−
n
X
k=0
uk
= lim
p→+∞
¡
p
X
k=0
uk −
n
X
k=0
uk¢
= lim
p→+∞
¡
p
X
k=n+1
uk¢
Rns’écrit donc comme somme d’une série (convergente, bien entendu) : Rn=
+∞X
k=n+1
uk
Pour une série divergente, on ne peut pas définir de restes.
I.7 Convergence absolue
a. Définition
Définition On dit que la sérieP
unconverge absolument dans l’espace vec- toriel normé de dimension finie (E,k.k) lorsque la sérieP
kunkconverge.
Remarque Une fois de plus, cette définition est « intrinsèque » : sik.ketN sont des normes sur E, elles sont équivalentes, donc P
kunk converge si et seulement siP
N(un) converge. On a donc le droit de dire, siE est de dimension finie, « dansE, la sérieP
unest absolument convergente » sans faire référence à une norme particulière.
Remarque On ne confondra pas cette définition avec celle de la conver- gence normale pour les séries de fonctions. . .Dans l’expression « conver- gence normale », la norme dont on parle est la normek.k∞, alias norme
« de la convergence uniforme ».
Cas particulier Dans le cas fréquent où la suite est à termes réels ou com- plexes (E =RouE =C), la série de terme généralun converge absolu- ment lorsque la série de terme général|un|converge.
b. La convergence absolue implique la convergence
Théorème Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toute série absolument convergente est convergente.
Démonstration 1 On considère un espace de dimension finie E. Si X un est une série absolument convergente d’éléments deE, on veut montrer qu’elle converge.
Une première idée est classique : si on est en dimension finie, il existe des bases. Soit donc, dans E, une base (e1, . . . ,ep). Les normes surE étant toutes équivalentes, on peut par exemple considérer la norme définie par
k
p
X
i=1
xieik = max
1≤i≤p|xi| On décompose alors chaqueundans la base :
∀n∈N un=
p
X
i=1
u(i)n ei
On constate alors que, pour touti entre 1 etp,
∀n∈N |u(i)n | ≤ kunk
Ce qui permet de conclure assez facilement à partir du résultat « la conver- gence absolue implique la convergence » vu dansRouC.
Démonstration 2 Cette démonstration ne sera pas demandée aux concours, mais elle est intéressante, car les idées que l’on va utiliser peuvent se re- trouver dans un énoncé d’écrit pour pallier la disparition du programme de la « complétude ».
On munitEd’une norme quelconquek.k. On suppose queX
kunkconverge.
On note, pour toutn,Sn= Xn
k=0
uk. 1. Montrer que (Sn) est bornée.
On peut donc extraire de (Sn) (on est en dimension finie) une suite (Sφ(n)) qui converge vers une limite`.
2. Montrer que la suite¡
Sn−Sφ(n)¢
converge vers 0E. 3. Conclure queP
unconverge.
I.8 Correspondance suites-séries
Etudier la convergence d’une série, c’est étudier la convergence d’une suite : la suite de ses sommes partielles.
Réciproquement, toute suite peut être écrite comme suite des sommes par- tielles d’une certaine série. Considérons en effet une suite (un)n∈N, et cherchons une suite (vn)n∈N telle que lesun soient les sommes partielles de la série de terme généralvn. Autrement dit, cherchons (vn)n∈Ntelle que, pour toutn≥0 :
un=
n
X
k=0
vp
Ceci équivaut à v0 =u0 et, pour tout n ≥1, vn =un−un−1. On pose parfois u−1=0 pour que cette formule soit vraie pour toutn. On retiendra :
Proposition La suite (un) converge si et seulement si la sérieX
(un+1−un) converge.
On parle souvent de « série télescopique » pour ces séries.
L’utilisation de cette proposition permet, combinée aux critères de convergence de séries, d’étudier des suites.
Proposition Soit (un) une suite d’éléments d’un espace vectoriel de dimen- sion finie. Un condition suffisante pour que la suite (un) converge est que la sérieX
kun+1−unkconverge.
Exemple-exercice important Soit (E,k.k) un espace vectoriel normé de di- mension finie,Aune partie fermée deE. On considère f une application k-lipschitzienne deAdans A, avec 0<k<1 (on dit que f est « contrac- tante »). La stabilité deApar f permet, sic∈A, de définir une suite (un) par
u0=c et ∀n∈N un+1=f(un)
Montrer que la suite (un) converge, et que sa limite est l’unique point fixe de f.
II Application : séries matricielles, séries d’endomor- phismes
II.1 Exponentielle de matrice, d’endomorphisme en dimension finie
Proposition SiA∈Mp(K),X 1
n!Anconverge ; on définit exp(A)=eA=
+∞X
n=0
1 n!An
Proposition bis Siu∈L(E), oùE est unK-espace vectoriel de dimension finie,X 1
n!unconverge ; on définit exp(u)=eu=
+∞X
n=0
1 n!un
RemarqueOn prend traditionnellementn pour noter le nombre de lignes (et de colonnes) de la matrice A. On prend aussi traditionnellementn pour dési- gner l’indice de sommation. Il faut choisir. . .
Démonstration. . .débordant le programme Soit k.k une norme quelconque surE; munissonsL(E) de la norme suivante :
N(u)=sup
x∈S
(ku(x)k) oùS={x∈E; kxk =1}. On a alors
∀x∈E ku(x)k ≤N(u)kxk et même plus :N(u) est le plus petit réel positifktel que
∀x∈E ku(x)k ≤kkxk ce qui donne une propriété intéressante de cette norme :
∀(u,v)∈L(E)2 N(v◦u)≤N(v)N(u)
ce qui, avec la propriété évidenteN(I dE)= donne (très intéressant aussi !)
∀k∈N ∀u∈L(E) N(uk)≤N(u)k
qui permet de voir queP 1
k!ukconverge absolument.
Pour les matrices, en définissant
N(A)= sup
kXk=1
(kAXk)
(où, bien sûr, k.k est une norme quelconque sur ), on obtient les mêmes calculs.
Démonstration sans norme subordonnéeLes normes « naturelles » surMp(K) (inspirées des trois normes usuelles surKp2) ne sont pas des normes ayant la propriété
∀k∈N kAkk ≤ kAkk On peut remarquer néanmoins que, pour la normek.k∞,
kABk∞≤ · · · × kAk∞kBk∞
ce qui permet, pour toutk≥1, d’affirmer
kAkk∞≤pk−1kAkk∞
et de conclure à l’absolue convergence de la série exponentielle. C’est beau- coup plus rapide que d’introduire les normes précédentes, et c’est à retenir.
Mais ça marche parce que la série exponentielle converge « fortement »
II.2 Quelques exponentielles
Ne sont au programme que la définition (que l’on vient de voir) et les propriétés fonctionnelles (A7→exp(A)est continue, d
dt
¡exp(t A)¢
=Aexp(t A)=exp(t A)A) que l’on verra plus tard. Néanmoins, l’exponentielle de matrice apparaît sou- vent dans les énoncés à l’écrit et à l’oral.
a. Exponentielle d’une matrice diagonale (très important)
SiD=
a1 0 . . . 0 0 a2 ...
... . .. ...
0 . . . 0 ap
alorseD=
b. Exponentielle d’une matrice triangulaire supérieure
SiT =
a1,1 ∗ . . . ∗ 0 a2,2 ...
... . .. ∗
0 . . . 0 ap,p
alorseT =
∗∗ . . . ∗∗
0 ...
... . .. ∗∗
0 . . . 0
Exercice très classique :Montrer que, siA∈Mn(R), det¡
exp(A)¢
=exp (Tr(A))
c. Exponentielle d’une matrice nilpotente SiN∈Mp(K), on a
eN =
p−1
X
k=0
1 k!Nk
d. Une exponentielle « calculable »
Soita∈R, calculer l’exponentielle de la matrice à 0 a
−a 0
!
e. Exponentielles de matrices semblables (très important) Si A=P B P−1(A,B∈Mn(K),P∈GLn(K)),
exp(A)=P exp(B)P−1
Démonstration à savoir bien rédiger
f. Une remarque
Exercice :En utilisant un résultat de topologie, montrer que, pour toutu∈L(E) (oùE est unK-espace vectoriel de dimension finie), il existe un polynômeQu de degré≤dim(E)−1 tel queQu(u)=exp(u).
g. Un point commun avec les exponentielles réelles et complexes
Exercice :Montrer que, siu∈L(E) (oùEest unK-espace vectoriel de dimension finie),
µ
IdE+1 nu
¶n
−−−−−→
n→+∞ exp(u)
[On pourra commencer par comparer, pour toutk∈N, 1 k!et
Ãn k
!
nk ].
II.3 Exponentielle d’une somme de matrices (ou d’endomor- phismes) qui commutent
Ceci est bien au programme.
Proposition SiAB =B A, exp(A+B)=exp(B+A)=exp(A) exp(B)=exp(B) exp(A).
Proposition Siu◦v=v◦u, exp(u+v)=exp(u)◦exp(v)=exp(v)◦exp(u) Corollaire Si A∈Mn(K), exp(A)∈GLn(K), et [exp(A)]−1=exp(−A).
Siu∈L(E), exp(u)∈GL(E), et [exp(u)]−1=exp(−u).
Les démonstrations ne sont pas exigibles.
II.4 Série « géométrique »
On écrit les résultats sur les matrices, on peut les réécrire pour les endomor- phismes.
Proposition (h.p.) Soit A∈Mn(K). SoitN une norme surMn(K) telle que, pour toutk∈N, on ait
N(Ak)≤(N(A))k SiN(A)<1, alorsIn−A∈GLn(K),P
Ak est absolument convergente, et (In−A)−1=
+∞X
k=0
Ak
Table des matières
I Séries à termes dans un espace vectoriel normé de dimension finie 1
I.1 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme . . . 1
I.2 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière . . . . 2
I.3 Espace vectoriel des séries convergentes . . . 2
I.4 Indépendance par rapport à la norme . . . 3
I.5 Caractérisation par les composantes dans une base . . . 3
I.6 Restes d’une série convergente . . . 3
I.7 Convergence absolue . . . 5
a. Définition . . . 5
b. La convergence absolue implique la convergence . . . 5
I.8 Correspondance suites-séries . . . 6
II Application : séries matricielles, séries d’endomorphismes 8 II.1 Exponentielle de matrice, d’endomorphisme en dimension finie . 8 II.2 Quelques exponentielles . . . 10
a. Exponentielle d’une matrice diagonale (très important) . . 10
b. Exponentielle d’une matrice triangulaire supérieure . . . . 10
c. Exponentielle d’une matrice nilpotente . . . 10
d. Une exponentielle « calculable » . . . 10
e. Exponentielles de matrices semblables (très important) . . 11
f. Une remarque . . . 11
g. Un point commun avec les exponentielles réelles et com- plexes . . . 11
II.3 Exponentielle d’une somme de matrices (ou d’endomorphismes) qui commutent . . . 11
II.4 Série « géométrique » . . . 12
