Soit H un espace vectoriel normé de dimension d, dont la norme k · k provient d’un produit scalaire h·, ·i.

(1)

Exercices supplémentaires 1 Rappel sur les espaces Hilbertiens.

MNO, L3, Dauphine D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Exercice 1

Soit H un espace vectoriel normé de dimension d, dont la norme k · k provient d’un produit scalaire h·, ·i.

1/ Soit (p

1

, · · · , p

d

) une base orthogonale de H. On pose e

k

:=

_kp¹

kk

p

k

. Montrer que (e

1

, · · · , e

d

) est une base orthonormale.

2/ Soit (e

1

, · · · , e

d

) une base orthonormale. Montrer que pour tout x ∈ H, on a x =

d

X

i=1

x

i

e

i

, avec x

i

:= hx, e

i

i.

3/ Montrer que l’application Φ : H → R

^d

définie par Φ(x) = (x

₁

, · · · , x

_d

) est une application linéaire inversible de H dans R

^d

. Montrer que c’est une isométrie lorsque R

^d

est muni de son produit scalaire usuel.

Exercice 2

On se place dans R

²

avec le produit scalaire usuel. On considère la droite D :=

(x

1

, x

2

) ∈ R

²

, ax

1

+ bx

2

= 0 , avec (a, b) 6= (0, 0) fixés.

On pose v := 1

√ a

²

+ b

²

b

−a

.

1/ Montrer que v est un vecteur unitaire, et que D = Ran{v}.

2/ Soit x = (x

1

, x

2

) ∈ R

²

, et soit P

_D

(x) sa projection orthogonale sur D. Montrer que P

_D

(x) = bx

1

− ax

2

a

²

+ b

²

b

−a

. 3/ Montrer que la distance δ entre x et D vérifie δ

²

= kxk

²

− kP

_D

(x)k

²

= (ax

1

+ bx

2

)

²

a

²

+ b

²

.

Exercice 3

Soit A ∈ S

_d⁺⁺

( R ) et b ∈ R

^d

. On pose x

^∗

:= A

⁻¹

b et on introduit le produit scalaire conjugué hx, yi

A

:= hx, Ayi = x

^T

Ay.

On admet que c’est un produit scalaire (cf exo 1 du TD6). Soit (e

₁

, · · · , e

_d

) une base de R

^d

, orthonormale pour le produit scalaire conjuguée : he

_i

, e

_j

i

_A

= δ

_ij

, et soit E

_n

:= Vect{e

₁

, · · · e

_n

} l’espace vectoriel engendré par les n premiers vecteurs de la base. Enfin, on pose

Q(x) := 1

2 hx, Axi − hb, xi.

1/ Montrer que Q(x) =

¹₂

kx − x

^∗

k

²_A

−

¹₂

kx

^∗

k

²_A

. En déduire que x

^∗

est l’unique minimiseur de Q sur R

^d

. 2/ Pour 1 ≤ n ≤ d, on pose x

n

:= P

En

(x

^∗

) = argmin {kx

^∗

− vk

A

, v ∈ E

n

}. Montrer que (on pourra utiliser le Lemme 4.2)

x

_n

=

n

X

i=1

he

_i

, bie

_i

, puis que x

^∗

=

d

X

i=1

he

_i

, bie

_i

3/ Montrer que

kx

^∗

− x

n

k

²_A

=

d

X

i=n+1

he

i

, bi

²

.

4/ Montrer que si on connaît une base conjuguée, alors pour tout b ∈ R

^d

, on peut résoudre Ax = b en

O(d

²