Produit scalaire et norme euclidienne

Produit scalaire et espaces euclidiens

TD25

Produit scalaire et norme euclidienne

Exercice 1

On consid` ere le plan vectoriel R

et on pose pour x = (x

, x

) et y = (y

, y

) :

< x, y >= 2x

y

+ x

y

+ x

y

+ 2x

y

. a) Montrer que < ·, · > d´ efinit un produit scalaire sur R

.

b) Repr´ esenter la boule unit´ e, c’est ` a dire l’ensemble des x ∈ E tels que ||x|| ≤ 1.

Exercice 2

Soit f, g ∈ L(E) tels que : ∀x ∈ E, ||f (x)|| = ||g(x)||.

Montrer que : ∀x, y ∈ E, < f (x), f (y) >=< g(x), g(y) > .

Exercice 3

Soit n ∈ N

, soient x

, . . . , x

∈ R

tels que P

i=1

x

= 1. Montrer que :

n

X

i=1

1 x

≥ n

. Etudier le cas d’´ ´ egalit´ e.

Exercice 4

On consid` ere l’espace E = C

([0, 1], R ) et on pose :

∀f, g ∈ E, < f, g >= f (1)g(1) + Z

0

f

(t)g

(t)dt.

a) Montrer que < ·, · > d´ efinit un produit scalaire sur E.

b) ´ Etablir que :

∀f ∈ E,

f (1) + Z

0

f

(t)dt

≤ 2

f (1)

+ Z

0

f

(t)

dt

.

Exercice 5

On consid` ere l’espace E = M

( K ) et on pose : < M, N >= T r(

M N ).

a) Montrer que < ·, · > d´ efinit un produit scalaire sur E.

b) ´ Etablir que : ∀M ∈ E, (

n

X

i=1

m

)

≤ n

n

X

i=1 n

X

j=1

m

.

c) Montrer que l’orthogonal du sous-espace S

(R) des matrices sym´ etriques r´ eelles est le sous-espace

A

( R ) des matrices antisym´ etriques r´ eelles.

Orthogonalit´ e

Exercice 6

Soient F et G des sous-espaces vectoriels d’un espace pr´ ehilbertien r´ eel E, et soit A une partie de E.

Montrer que :

A

= V ect(A)

; F

∩ G

= (F + G)

; F

+ G

⊂ (F ∩ G)

. Montrer l’´ egalit´ e lorsque E est de plus de dimension finie.

Exercice 7

On consid` ere E = {suites r´ eelles nulles ` a partir d’un certain rang} et on pose < u, v >=

+∞

X

i=0

u

v

.

On d´ efinit F = {u ∈ E|

+∞

X

i=0

u

= 0}.

a) Montrer que < ·, · > est bien d´ efini et est un produit scalaire sur E.

b) Montrer que F

= {0

}.

c) En d´ eduire que F F

et que F ⊕ F

6= E.

Exercice 8

On pose u

= (0, 1, 1, 1), u

= (1, 0, 1, 1), u

= (1, 1, 0, 1), u

= (1, 1, 1, 0). Montrer que (u

, u

, u

, u

) est une base de R

. L’orthonormaliser.

Exercice 9

On consid` ere une famille de vecteurs unitaires (e

, . . . , e

) de E espace euclidien de dimension n, v´ erifiant la relation suivante :

∀v ∈ E, ||v||

=

p

X

i=1

< e

, v >

.

Montrer que la famille (e

, . . . , e

) est orthonormale, puis que c’est une base orthonormale de E. En d´ eduire que n = p.

Exercice 10

Soit E un espace euclidien, soient f, g ∈ L(E) tels que f ◦ g = g ◦ f . On suppose que les matrices de f et g dans une base orthonorm´ ee sont respectivement sym´ etrique et antisym´ etrique. Montrer que :

∀x ∈ E, < f (x), g(x) >= 0, et

∀x ∈ E, ||(f − g)(x)|| = ||(f + g)(x)||.

Projection orthogonale

Exercice 11

On se place dans R

muni du produit scalaire usuel.

Soit F le sous-espace vectoriel de R

d´ efini par le syst` eme d’´ equations : ( x

+ x

+ x

+ x

= 0

x

− x

+ x

− x

= 0 .

D´ eterminer la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur F.

Exercice 12

Soit E un espace euclidien. Soit u ∈ E, u 6= 0

et soit H = (V ect(u))

. Soit p la projection orthogonale sur H et s la reflexion par rapport ` a H.

a) Montrer que :

∀x ∈ E, p(x) = x − < x, u >

||u||

u.

b) Montrer que :

∀x ∈ E, s(x) = x − 2 < x, u >

||u||

u.

Exercice 13

Soit E un espace euclidien.

a) Soit p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si

∀x, y ∈ E, < p(x), y >=< x, p(y) > .

b) Soit s ∈ L(E) une sym´ etrie. Montrer que s est une sym´ etrie orthogonale si et seulement si

∀x, y ∈ E, < s(x), y >=< x, s(y) > .

Exercice 14

Soit p un projecteur de E espace euclidien. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si :

∀x ∈ E, ||p(x)|| ≤ ||x||.

Exercice 15

Sur R[X], on d´ efinit :

< P, Q >=

Z

P (t)Q(t)dt.

a) Montrer que < ·, · > est un produit scalaire.

b) Trouver une base orthonorm´ ee de R

[X] pour ce produit scalaire.

c) Calculer le minimum pour (a, b) ∈ R

de : Z

0

(t

− at − b)

dt.

Exercice 16

On munit M

( R ) du produit scalaire usuel.

Soit U la matrice de M

( R ) dont tous les coefficients sont ´ egaux ` a 1.

Soit M ∈ M

( R ). Calculer :

(a,b)∈

inf

||M − aI − bU ||.

Exercice 17 (D´ eterminant de Gram)

Soit v

, . . . , v

des vecteurs d’un espace euclidien (E, < ·, · >). On d´ efinit le d´ eterminant de Gram de ces vecteurs par :

Gram(v

, . . . , v

) =

< v

, v

> . . . < v

, v

>

.. . .. .

< v

, v

> < v

, v

>

.

a) Etablir l’´ egalit´ e suivante pour tout λ

, . . . , λ

∈ K et a ∈ E :

Gram(v

, . . . , v

, a) = Gram(v

, . . . , v

, a + λ

v

+ · · · + λ

v

).

b) Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie, (v

, . . . , v

) une base de F . Soit a ∈ E.

Montrer que :

Gram(v

, . . . , v

, a) = Gram(v

, . . . , v

)d(a, F )

.

Polynˆ omes orthogonaux

Exercice 18

On consid` ere l’espace E = R

[X], et on pose :

< P, Q >=

Z

P (t)Q(t)dt.

Pour tout 0 ≤ p ≤ n, on pose L

(X) = d

dX

(X

(X − 1)

).

a) Montrer que < ·, · > d´ efinit un produit scalaire sur E.

b) Montrer que L

est un polynˆ ome dont on pr´ ecisera son degr´ e et son coefficient dominant.

c) Calculer par int´ egration par parties < L

, L

> pour p 6= q. En d´ eduire que (L

, . . . , L

) est une base orthogonale de R

[X].

d) D´ eterminer enfin la norme euclidienne de L

.

Exercice 19

L’espace R

[X] est muni du produit scalaire d´ efini par :

< P, Q >=

Z

P (t)Q(t)dt.

a) Justifier l’existence et l’unicit´ e d’une suite p

, . . . , p

telle que : X(X − 1) . . . (X − n + 1)

(X + 1)(X + 2) . . . (X + n + 1) =

n

X

i=0

p

X + i + 1 .

b) Montrer que P (X) = p

+ p

X + · · · + p

X

est orthogonal ` a R

[X].

c) Calculer < P, X

>, montrer que < P, P >= p

< P, X

>, puis d´ eterminer ||P ||.

d) En d´ eduire la distance δ

de X

` a R

[X].

Exercice 20 (Polynˆ omes orthogonaux)

On consid` ere une fonction continue strictement positive ω : [a, b] → R , et on pose :

∀P, Q ∈ R

[X], < P, Q >=

Z

a

P (t)Q(t)ω(t)dt.

a) Montrer que < ·, · > est un produit scalaire sur R

[X].

b) Etablir l’existence et l’unicit´ e d’une base orthonorm´ ee de polynˆ omes (P

, P

, . . . , P

) tels que deg(P

) = k et < X

, P

>> 0 pour 0 ≤ k ≤ n.

En d´ eduire que pour tout 1 ≤ k ≤ n, P

est orthogonale ` a R

[X].

c) Etablir, pour 0 ≤ k ≤ n, qu’il existe a

, b

, c

(avec c

= 0) tels que : XP

(X) = a

P

(X) + b

P

(X) + c

P

(X).

Comparer les deux nombres c

et a

.

d) Montrer que < P

, 1 >= 0 pour k ≥ 1, puis en d´ eduire que P

a au moins une racine x

appartenant

`

a ]a, b[ en laquelle il change de signe.

e) On note alors x

, . . . , x

les racines d’ordre impaires de P

appartenant ` a ]a, b[. En consid´ erant le produit scalaire < P

, (X − x

) . . . (X − x

) >, en d´ eduire que n´ ecessairement p = k, et que les racines de P

sont simples, r´ eelles et dans ]a, b[.

Repr´ esentation des formes lin´ eaires et applications

Exercice 21 (Th´ eor` eme de repr´ esentation de Riesz) On consid` ere un espace euclidien E.

a) Montrer que l’application v 7→ ϕ

=< v, · > est un isomorphisme de E dans L(E, R ).

Ainsi pour toute forme lin´ eaire ϕ sur E, il existe un unique vecteur v ∈ E tel que :

∀x ∈ E, ϕ(x) =< v, x > .

b) Montrer que H est un hyperplan de E si et seulement si c’est l’orthogonal d’un vecteur non nul.

Montrer que deux hyperplans sont identiques si et seulement s’ils sont orthogonaux ` a une mˆ eme droite vectorielle.

Exercice 22 (Adjoint d’un endomorphisme) On consid` ere un espace euclidien E, et f ∈ L(E)

a) Montrer que pour tout y ∈ E, il existe un unique vecteur f

(y) tel que :

∀x ∈ E, < f

(y), x >=< y, f (x) > .

b) Montrer que l’application f

: y ∈ E 7→ f

(y) ∈ E est lin´ eaire. On l’appelle l’adjoint de f .

c) Soient f, g ∈ L(E ) et λ, µ ∈ R. Quel est l’adjoint de f

? de λf + µg ? de f ◦ g ?

d) Montrer que dans toute base orthonormale de E, la matrice de f

est la transpos´ ee de celle de f . e) Montrer que :

Ker(f

) = Im(f )

et Im(f

) = Ker(f )

.

f) Soit p ∈ L(E) un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si p = p

.

Exercice 23 (Produit vectoriel dans R

)

On consid` ere R

muni de son produit scalaire usuel. On note B la base canonique de R

. a) Soient v

, v

∈ R

. Montrer l’existence d’un unique vecteur w ∈ R

satisfaisant :

∀v ∈ R

, < w, v >= det

B

(v

, v

, w).

Ce vecteur est appel´ e le produit vectoriel de v

et v

, et not´ e v

∧ v

. b) Montrer que l’application (v

, v

) 7→ v

∧ v

est bilin´ eaire altern´ ee.

c) Montrer que v

∧ v

est nulle si et seulement si v

et v

sont li´ es.

d) Montrer que si v

et v

sont lin´ eairement ind´ ependant, alors v

∧ v

est orthogonal ` a v

et ` a v

, de norme ´ egale ` a ||v

|| × ||v

|| × sin(θ) o` u θ est l’angle non orient´ e entre v

et v

.

e) D´ eterminer les coordonn´ ees de v

∧ v

dans la base B en fonction de ceux de v

et v

.