Groupe sym´etrique

Chap 34

Groupe sym´ etrique

1 Permutations d’un ensemble fini

1.1 D´efinition

D´efinition. Soit E un ensemble fini de cardinal n ¡ 0. On appelle permutation de E toute bijection de E ÑE.

Remarque.

Notation. Une permutation σ de t1, . . . , nu est donn´ee par la donn´ee de chacune des images σp1q, . . . , σpnq. On repr´esentera une permutation par la liste des ´el´ements de t1, . . . , nu, en dessous de laquelle on indiquera l’image de chaque ´el´ement.

Exemple. Ainsiσ

1 2 3 4 5 2 4 1 3 5

repr´esente la permuationσ de t1,2,3,4,5u telle que Notation.

1.2 Produit de permutations

D´efinition. On appelleproduit de deux permutations la compos´ee de ces deux permutations.

Exemple. Soit

σ

1 2 3 4 5 2 4 1 3 5

etτ

1 2 3 4 5 1 3 4 2 5

D´eterminer τ σ etστ. Remarque.

1.3 Groupe sym´etrique, ordre d’une permutation Th´eor`eme.

S_n, muni du produit d´efini ci-avant, est un groupe dont l’´el´ement neutre est not´ee.

Propri´et´e.Soitσ PS_n. Alors : Z Ñ S_n

k ÞÑ σ^k

est un morphisme de groupes. Son noyau est donc un sous-groupe de Z, donc de la forme mZ, avec m0.

D´efinition.On appelleordre deσ l’entiermd´efini dans la propri´et´e pr´ec´edente, c’est-`a-direle plus petit entier k strictement positif tel queσ^ke.

Exemple. D´eterminer l’ordre de σ

1 2 3 4 5 2 4 1 3 5

.

2 D´ ecomposition en produit de transpositions

2.1 Transpositions

D´efinition. Pour n ¥ 2, on appelle transposition une permutation qui ´echange deux ´el´ements distincts, et laisse invariants les autres. On note τ pi, jq la transposition qui ´echangeietj.

Exemple. DansS₅,p2,4q

1 2 3 4 5

1 4 3 2 5

Propri´et´e. Une transposition est d’ordre 2. C’est une involution.

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2.2 Les transpositions engendrent Sn

Rappel. Dans un groupe G, on consid`ere une famille F. On appelle groupe engendr´e par F le plus petit sous-groupe deGcontenantF. On dit que la familleF engendreGsi et seulement siGest le groupe engendr´e par F.

Th´eor`eme.

Le groupe sym´etriqueS_n est engendr´e par les transpositions, c’est-`a-direque toute permutation est un produit de transpositions.

Remarque.

Exemple. D´ecomposer en produit de transpositionsσ

1 2 3 4 5 5 3 4 1 2

Remarque.

3 Signature d’une permutation

3.1 D´efinitions

D´efinition. Soit σ PS_n. On appelleinversion de σ toute paireti, ju d’´el´ements de t1, . . . , nu tels que σpiqet σpjq sont class´es dans l’ordre inverse de celui deietj.

Exemple. D´eterminer les inversions de σ

1 2 3 4 5 2 4 1 3 5

D´efinition. Une permutation σ est ditepaire lorsquele nombre de ses inversions est pair.

Elle est dite impaires’il est impair.

D´efinition. On appellesignatured’une permutation σ le nombre : εpσq p1q^N

o`uN est le nombre d’inversions deσ.

3.2 Propri´et´es

Propri´et´e. La signature d’une permutation paire est 1, la signature d’une permutation impaire est1.

Th´eor`eme.

ε : S_n Ñ t1,1u

σ ÞÑ εpσq

est un morphisme de groupes, c’est-`a-dire que :εpστq εpσqεpτq

Corollaire. La compos´ee de deux permutations de mˆeme parit´e est paire.

La compos´ee de deux permutations de parit´es oppos´ees est impaire.

Corollaire. εpσ¹q εpσq

D´efinition. On appellegroupe altern´e, et on noteA_n l’ensemble des permutations paires.

C’est le noyau de ε.

3.3 Signature d’une transposition

Th´eor`eme.

Une transposition est une permutation impaire, c’est-`a-dire de signature 1.

Corollaire. Le produit dektranspositions a pour signature p1q^k.

Pour d´eterminer la signature d’une permutation, on peut d´ecomposer cette permutation en produit de trans- positions.

Corollaire.

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4 Cycles

4.1 D´efinition

D´efinition. Soit n¥ 2. On appelle cycle une permutation σ de t1, . . . , nu pour laquelle il existe k ¥2 et un k-upletpa₁, . . . , a_kq P t1, . . . , nu^k d’´el´ements deux `a deux distincts tels que :

$'

&

'%

@iP t1, . . . , k1u, σpa_iq a_{i 1} σpakq a1

@jR ta1, . . . , a_ku, σpjq j On note σ pa₁, . . . , a_kqn un cycle.

k s’appelle lalongueurdu cycle etta1, . . . , aku lesupportdu cycle.

Remarque.

Exemple. Le cyclep1,4,2,5q6 est la permutation

1 2 3 4 5 6

4 5 3 2 1 6

Propri´et´e. Deux cycles `a supports disjoints commutent.

4.2 Signature d’un cycle Th´eor`eme.

Un cycle de longueur ka pour signaturep1q^k1.

Repr´esentation d’un cycle. Le cyclep1,4,2,5q6 est repr´esent´e par :

1^}} 5_^^ 3^yy

4

>>2 6^zz

4.3 Compl´ement : d´ecomposition en produit de cycles `a supports disjoints

R´esultat. Un th´eor`eme hors programme permet d’affirmer que toute permutation se d´ecompose de fa¸con unique (`a ordre pr`es) en produit de cycles `a supports disjoints (donc commutant).

Int´erˆet. On peut d´ecomposer une permutation en produit de cycles, et en d´eduire facilement la signature.

M´ethode. Sans faire r´ef´erence `a ce th´eor`eme, pour une permutation σ, on peut chercher les orbites de σ, c’est-`a-dire les images successives de 1, puis des ´el´ements qui ne sont pas dans l’orbite de 1 etc. et en d´eduire une d´ecomposition de σ en produit de cycles `a supports disjoints.

Exemple. Faire cette d´ecomposition sur la permutation :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 10 3 9 1 7 8 6 5 2

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34.1 (a)Soitlapermutationσ 12345 34251 . Calculerlespuissancessuccessivesdeσ.End´eduiresonordre. (b)Soitlapermutationσ1 12345 54123 . Utiliserlamˆemem´ethodepourd´eterminerl’ordredeσ1 . (c)D´eterminerlanaturedespermutationsσσ1 etσ1 σ groupesymetrique_1.tex 34.2D´ecomposerlespermutationssuivantesenproduitdetrans- positionsetend´eduireleursignature: σ 123456 315264 σ1 12345678 46287531 groupesymetrique_2.tex 34.3D´enombrerlesinversionsdeσ,σ1 ,σσ1 etσ1 σo`u: σ 123456 315264 σ1 123456 352416 groupesymetrique_3.tex 34.4D´ecomposerσ 12345678910 10912467583 enpro- duitdecycles`asupportsdisjoints.Calculerσ3034 .Donnerlasignature deσ.groupesymetrique_8.tex 34.5SamLoydaofferten1873uner´ecompensede1000dollars `aquir´esoudraitleprobl`emedujeudetaquinsuivant:ordonnerpar desglissementslescasesenpartantde:

Auriez-vous´et´eprˆet`areleverled´efi?groupesymetrique_4.tex 34.6 (a)DansS9,onconsid`erelapermutationσ 123456789 378945216 . D´ecomposerσ,donnersasignature,calculerσ1000 . (b)DansS6,onconsid`erelapermutationσ 123456 654123 . D´ecomposerσ,donnersasignature,calculerσ9999 . groupesymetrique_6.tex 34.7SoitnPN,n¥3. (a)Montrerquelescyclesd’ordre3engendrentlegroupealtern´eAn. (b)Montrerquelescyclesdelaformep1,2,kqo`ukPt3,...,nu engendrentaussiAn. groupesymetrique_5.tex 34.8Soitn¥2. (a)MontrerqueSnestengendr´eparlestranspositions p1,2q,p1,3q,...,p1,nq. (b)MontrerqueSnestengendr´eparlestranspositions p1,2q,p2,3q,...,pn1,nq. (c)Soitlatranspositiontp1,2qetlecyclecp1,2,...,nq.Pour kPt0,...,n2u,calculerck tck .End´eduirequeSnestengen- dr´eparcett. (d)D´ecomposer`al’aidedecettlapermutation:σ 12345 43152 groupesymetrique_7.tex

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