1) Prouver que ∆ est un polynˆome sym´etrique

ALG `EBRE 4 - DEVOIR MAISON 2 Licence 3 - Math´ematiques, ann´ee 2014/15

(A rendre la semaine du 24 novembre)

Exercice 1 :Soientn∈N\{0}etK un corps commutatif. On consid`ere l’action du groupe sym´etriqueS_n surK[X₁, . . . , X_n] d´efinie parσ·P(X₁, . . . , X_n) :=P(X_σ(1), . . . , X_σ(n)), pour σ ∈Sn etP ∈K[X1, . . . , Xn]. On noteε le morphisme ”signature” du groupeSn vers{±1} et Σ₁, . . . ,Σ_n les polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires dans K[X₁, . . . , X_n].

I) Sur le polynˆome ”discriminant” ∆ :=∏

1≤i<j≤n(Xj −Xi)² ∈K[X1, . . . , Xn] : 1) Prouver que ∆ est un polynˆome sym´etrique. En d´eduire qu’il existe un unique P ∈K[X₁, . . . , X_n] tel que ∆ =P(Σ₁, . . . ,Σ_n).

2) On veut montrer que P est irr´eductible dansK[X1, . . . , Xn] si le corps K n’est pas de caract´eristique 2. On suppose donc que P =AB pour A, B ∈K[X₁, . . . , X_n]\K.

a) Prouver qu’il existe un couple (k, l) d’entiers tels que 1 ≤ k < l ≤ n pour lequel (X_l−X_k) divise A(Σ₁, . . . ,Σ_n) dans K[X₁, . . . , X_n].

b) Soit (r, s)∈ N² tel que 1 ≤ r < s≤ n. Montrer qu’il existe une permutation σ ∈S_n telle que σ(k) =r et σ(l) =s.

c) En d´eduire que A(Σ₁, . . . ,Σ_n) est divisible par δ :=∏

1≤i<j≤n(X_j−X_i).

d) Prouver qu’il existe a∈K\ {0} tel queA(Σ1, . . . ,Σn) =aδ et B(Σ1, . . . ,Σn) =a⁻¹δ.

Conclure.

3) Montrer que P est r´eductible dansK[X1, . . . , Xn] si K est de caract´eristique 2.

II) Polynˆomes invariants par le groupe altern´e : Soient K[X₁, . . . , X_n]^An et K[X1, . . . , Xn]^antisym les sous-K-alg`ebres de K[X1, . . . , Xn] form´ees par les polynˆomes P ∈K[X₁, . . . , X_n] tels queσ·P =P pour toutσ ∈A_n, respectivement tels queσ·P =ε(σ)P pour tout σ ∈Sn. On suppose que la caract´erisitique de K n’est pas 2.

1) Soient τ une transposition fix´ee dans Sn et P ∈ K[X1, . . . , Xn]. En ´ecrivant P =

P+τ·P

2 + ^P−₂^τ·P, montrer que K[X₁, . . . , X_n]^An =K[Σ₁, . . . ,Σ_n]⊕K[X₁, . . . , X_n]^antisym. 2)a) Soient P ∈K[X1, . . . , Xn]^antisym et i, j des entiers tels que 1≤i < j ≤n. Montrer que P est un multiple de X_j −X_i dans K[X₁, . . . , X_n].

b)Prouver queδdiviseP dansK[X1, . . . , Xn], puis queP/δest un polynˆome sym´etrique.

3) En conclure que K[X₁, . . . , X_n]^An =K[Σ₁, . . . ,Σ_n]⊕δ K[Σ₁, . . . ,Σ_n].

Exercice 2 : Soient A etB des polynˆomes non nuls `a coefficients dansC, de coefficients dominants a et b. Pour P non nul dans C[X], on note dP le degr´e de P. On convient que le r´esultant R(A, B)∈C de (A, B) vaut b^dA si dB = 0 eta^dB si dA = 0.

1) Rappeler les expressions de R(A, B) en fonction des racines de A et/ouB dans C. 2) Prouver que le r´esultant v´erifie les propri´et´es suivantes :

(i) R(A, B) = (−1)^dAdBR(B, A).

(ii) R(A, B) =R(A1, B)R(A2, B) si A =A1A2 avec A1, A2 dans C[X].

(iii) Si A ≡CmodB avec C ̸= 0 dans C[X], alors R(A, B) = (−1)^dAdBb^dA−dCR(B, C).

En d´eduire une m´ethode pour obtenir R(A, B) qui n’utilise ni les racines de A ou B, ni un calcul de d´eterminant.

3) Trouver le discriminant de P :=X⁴+X²+X + 1∈C[X] avec les formules du 2).