2) Donner la d´efinition d’un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel eu- clidien

Universit´e d’Orl´eans 24 Avril 2018 D´epartement de Math´ematiques

L4MT06 Alg`ebre bilin´eaire et espaces euclidiens

Examen Premi`ere Session

dur´ee : 2 heures

Documents et appareils ´electroniques interdits

Questions de cours :

1) Enoncer le proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt.

2) Donner la d´efinition d’un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel eu- clidien. Quel est le r´esultat essentiel concernant la diagonalisation des endomor- phismes sym´etriques ?

Exercice 1

Soient ϕ1, ϕ2 etϕ3 les formes lin´eaires sur E =R³ d´efinies par







ϕ1(x, y, z) = x−z ϕ₂(x, y, z) = y+z ϕ3(x, y, z) = x+y

a) D´eterminer les coordonn´ees de chaque ϕi dans la baseB^∗₀ = (^∗₁, ^∗₂, ^∗₃) duale de la base canonique B₀ = (₁, ₂, ₃) de R³.

b) La famille (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃) est-elle libre ?

c) D´eterminer la dimension de F = Ker(ϕ1)∩Ker(ϕ2)∩Ker(ϕ3).

d) On pose q =ϕ²₁+ϕ²₂−ϕ²₃. Montrer que q est une forme quadratique sur E. e) D´eterminer la signature, le rang et le noyau de q.

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3 rapport´e `a une base orthonormale directe B. Pour tout a ∈R, on consid`ere l’endomorphisme f_a dont la matrice dansB est :

A= 1 3





1 2 2

2 1 −2

−2a 2a −a





a) D´emontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles f_a est un endomor- phisme orthogonal.

b) Pour chacune de ces deux valeurs, d´eterminer la nature g´eom´etrique de f_a et en donner une description g´eom´etrique compl`ete (par exemple, si vous avez trouv´e que fa est une sym´etrie orthogonale par rapport `a un plan, donner l’´equation de ce plan).

Exercice 3

SoitE =C([0,1]) l’espace vectoriel r´eel des fonctions continues sur l’intervalle [0,1]

`

a valeurs r´eelles. On munitE du produit scalaire d´efini par< f, g >=R1

0 f(t)g(t)dt pourf, g ∈E et on notek.kla norme associ´ee. On notef₀, f₁ les fonctions d´efinies par f0(t) = 1 et f1(t) = t pour t ∈ [0,1]. On note F le sous-espace vectoriel engendr´e parf₀ et f₁.

a) D´eterminer la dimension de F.

b) D´eterminer une base orthogonale (e0, e1) de F.

c) Exprimer `a l’aide du produit scalaire les coordonn´ees (a₀, a₁) dans la base (e0, e1) de la projection orthogonale PF(g) surF d’un ´el´ement g∈E quelconque.

d) Etant donn´e g ∈ E, on note d(g, F) = inff∈Fkg −fk la distance de g `a F. Calculer d(g, F)² en fonction de kgk² et de kP_F(g)k².

e) Calculer explicitement PF(g) etd(g, F) pour la fonctiong d´efinie par

g(t) = sinπt, t∈[0,1].

Exercice 4

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionnet uun endomorphisme de E. On consid`ere l’endomorphismeu^∗u (par d´efinition, c’est le compos´e u^∗◦u).

a) Montrer qu’il existe une base orthonormale B = (~e₁, . . . , ~e_n) de E telle que ~e_i est un vecteur propre deu^∗u pour tout i= 1, . . . , n.

b) Montrer que toutes les valeurs propres de u^∗u sont positives ou nulles.

c) Pouri= 1, . . . , n, on noteλ_i la valeur propre deu^∗uassoci´ee au vecteur propre

~ei. On suppose λ1 ≥λ2 ≥ . . .≥λn. Soit ~x ∈E de coordonn´ees (x1, . . . , xn) dans la base B. Calculer k~xk² et ku(~x)k² en fonction des xi et desλi.

d) Calculerku(~x)k²−λ1k~xk². En d´eduire que ku(~x)k² ≤λ1k~xk². e) Montrer que λ1 = max{ku(~x)k² :~x∈Ede normek~xk= 1}.

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