Donner la d´efinition d’une forme quadratique q sur un espace vectoriel r´eel E

Universit´e d’Orl´eans 21 Juin 2016 D´epartement de Math´ematiques

L4MT06 Alg`ebre bilin´eaire et espaces euclidiens

Examen Deuxime Session

dur´ee : 2 heures

Documents et appareils ´electroniques interdits

La qualit´e de la r´edaction et de la pr´esentation, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements constitueront un ´el´ement important pour l’appr´eciation des copies.

Questions de cours :

1. Donner la d´efinition d’un endomorphisme sym´etrique d’un espace vectoriel eu- clidien. Que peut-on dire sur la diagonalisation d’un endomorphisme sym´etrique ? 2. Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Pythagore dans un espace pr´ehilbertien r´eel.

3. Donner la d´efinition d’une forme quadratique q sur un espace vectoriel r´eel E. Donner une formule de polarisation.

Exercice 1

Etant donn´e un nombre r´eel a, on consid`ere la matrice

A =





1 1 a 1 1 1 a 1 1





1. Ecrire la forme quadratique q : R³ → R qui a A pour matrice dans la base canonique de R³.

2. D´eterminer la signature de q et son rang en fonction de a.

3. Montrer qu’il existe une et une seule valeur de a pour laquelle la forme quadratique est positive. La forme quadratique q est-elle alors d´efinie positive ?

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel euclidien orient´e de dimension 3 rapport´e `a une base orthonormale directe B. Pour tout a ∈R, on consid`ere l’endomorphisme f_a dont la matrice dansB est :

A = 1 3





a −2a 2a

−2 1 2

2 2 1





a) D´emontrer qu’il existe deux valeurs de a pour lesquelles f_a est un endomor- phisme orthogonal.

b) Pour chacune de ces deux valeurs, d´eterminer la nature g´eom´etrique de f_a.

Exercice 3

On munit l’espace vectoriel E = R2[X] des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 du produit scalaire < P, Q >= R1

−1P(t)Q(t)dt. Appliquer le proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt `a la famille (1, X, X²) pour construire une base orthogonale de (E, <, >).

Exercice 4

Dans R³ muni du produit scalaire usuel et de la base canonique B = (i,j,k), on consid`ere le sous-espace vectorielF engendr´e par les vecteurs

f₁ =i+j+k et f₂ =i−j−k.

1) Montrer que la famille (f₁,f₂) est libre.

2) D´eterminer F^⊥.

3) D´eterminer une base orthogonale (e1,e2) deF. En d´eduire une base orthogonale (e₁,e₂,e₃) de R³.

4) Soit X =xi+yj+zk∈R³. Calculer les projections orthogonales PF(X) de X sur F et P_F^⊥(X) de X sur F^⊥.

5) D´eterminer la matrice, relativement `a B, de la projection orthogonale P_F sur F. Que vaut sa trace ?

6) D´eterminer la matrice, relativement `aB, de la sym´etrie orthogonale par rapport

` a F.

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