L’´ etudiant(e) attachera la plus grande importance ` a la clart´ e et ` a la pr´ ecision de la r´ edaction.

Master Enseignement 25 mai 2020

Universit´ e Paris 13 de 9h ` a 10h30

Epreuve d’analyse 2

Les exercices sont ind´ ependants.

L’´ etudiant(e) attachera la plus grande importance ` a la clart´ e et ` a la pr´ ecision de la r´ edaction.

Exercice 1. Le but de cet exercice est de montrer que

+∞

X

n=1

n

2

= 6 et que

+∞

X

n=1

1 n

1

3

= ln(3) − ln(2).

1. Calculer le rayon de convergence de la s´ erie

+∞

X

n=1

n

z

.

2. Montrer que

+∞

X

n=1

nz

= z

(1 − z)

sur le disque ouvert de convergence (dont on pr´ ecisera le rayon) de cette s´ erie.

3. Montrer que

+∞

X

n=1

n(n + 1)z

= 2z

(1 − z)

sur le disque ouvert de convergence (dont on pr´ ecisera le rayon) de cette s´ erie.

4. En d´ eduire la premi` ere ´ egalit´ e cherch´ ee.

5. Montrer la seconde ´ egalit´ e par une m´ ethode similaire.

Exercice 2.

Pour n ∈ IN

et x ∈]1, +∞[, on pose f

(x) = (−1)

ln(nx) . 1. D´ emontrer que pour tout x ∈]1, +∞[, X

n≥1

f

(x) est une s´ erie convergente.

On pose f (x) = X

n≥1

f

(x) tout x ∈]1, +∞[.

2. Montrer que P

f

converge uniform´ ement vers f sur ]1, +∞[.

3. Montrer que f est continue sur ]1, +∞[.

4. En posant g(x) = f(x) + 1

ln(x) et en remarquant que g = P

n≥2

f

, montrer que la limite de g en 1 ` a droite existe et est finie. En d´ eduire un ´ equivalent de f en 1

. 5. Pour tout x ∈]1, +∞[, d´ eterminer le signe f(x) et d´ eterminer la limite de f (x) en

+∞.