PCSI5 Lyc´ee Saint Louis
Devoir maison ` a rendre le 16/11/15
DM4
La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1
Soit J un intervalle contenu dans ]− ∞,0[∪]0,1[. On consid`ere l’´equation diff´erentielle : (EJ) (1−x)xy0+ (1−x)y= 1.
1. R´esoudre sur l’intervalle J l’´equation homog`ene associ´ee.
2. En d´eduire les solutions sur l’intervalleJ de l’´equation (EJ).
3. Soit (FJ) l’´equation diff´erentielle :
(FJ) (1−x)xy00+ (1−x)y0 = 1.
D´eterminer que les solutions surJde (FJ) sont les fonctions g de la formeg(x) =−Rx 0
ln(1−t) t dt+
Aln|x|+B, o`u A et B sont des constantes.
4. Existe t-il une solution de (EJ) sur ]− ∞,1[ ?
Exercice 2
On cherche `a r´esoudre surI =]−1,1[ l’´equation :
(x2−1)y00+ 3xy0−8y= 2x. (E)
1. Soit y une fonction deux fois d´erivable sur I.
On poseJ =]0, π[ et :
z: J →R
t7→sin(t)·y(cos(t)).
(a) Montrer quez est deux fois d´erivable sur J et calculerz0 etz00. (b) Montrer que :
y solution de (E) surI ⇔z solution de (E0) sur J, o`u
z00+ 9z=−2 cos(t) sin(t). (E0) 2. R´esoudre (E0) surJ.
3. En d´eduire l’ensemble des solutions de (E) sur I. On ´ecrira les solutions sous forme simplifi´ee.
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