ECS2 Lyc´ ee Louis Pergaud
Devoir Surveill´ e du 09/09/2021
DS0
Dur´ ee : 2h
La qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. Les r´ esultats doivent ˆ etre encadr´ es.
La calculatrice n’est pas autoris´ ee.
Exercice 1
La lettre n d´ esigne un entier naturel non nul.
Soit f
nla fonction d´ efinie sur R
+par : f
n(x) = 1 − x − x
n.
1. Montrer que l’´ equation f
n(x) = 0 d’inconnue x admet une seule solution, not´ ee u
n. 2. (a) V´ erifier que u
nappartient ` a ]0, 1[.
(b) En d´ eduire le signe de f
n+1(u
n) puis ´ etablir que la suite (u
n) est croissante.
(c) Conclure que la suite (u
n) converge et que sa limite appartient ` a [0, 1].
(d) Montrer par l’absurde que la limite de la suite (u
n) vaut 1.
3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose v
n= 1 − u
n.
(a) Justifier que v
nest strictement positif, puis montrer que ln(v
n) ∼
+∞
−n v
n. (b) ´ Etablir que lim
n→+∞
ln
−ln(vn) n vn
− ln(v
n) = 0 et en d´ eduire que : ln(v
n) ∼
+∞
− ln(n) . (c) Montrer enfin que : v
n∼
+∞
ln(n) n .
Exercice 2
On consid` ere la fonction f d´ efinie sur l’intervalle I = h 0, π
4 i
par f(x) = 1 cos(x) .
1. Montrer que f r´ ealise une bijection de I dans l’intervalle J que l’on pr´ ecisera. On note f
−1la bijection r´ eciproque.
2. Donner sur le mˆ eme graphique l’allure des courbes repr´ esentatives de f et de f
−1.
3. Justifier que pour tout x ∈ J,
cos(f
−1(x)) = 1 x sin(f
−1(x)) =
r 1 − 1
x
2.
4. Montrer que f
−1est d´ erivable sur J \ {1} et montrer que :
∀x ∈ J \ {1}, (f
−1)
0(x) = 1 x √
x
2− 1 . 5. En d´ eduire le d´ eveloppement limit´ e en √
2 de f
−1` a l’ordre 1.
1
ECS2 Lyc´ ee Louis Pergaud Exercice 3
1. D´ eterminer le d´ eveloppement limit´ e des fonctions suivantes : (a) f : x 7→ sin(x)e
−x` a l’ordre 4 au voisinage de 0 ;
(b) f : x 7→
√ 1 + x
1 − x ` a l’ordre 3 au voisinage de 0.
2. Calculer les limites suivantes : (a) lim
x→+∞
1 + 1
x
x; (b) lim
x→0
e
x− cos(x) − x (ln(1 + x))
2.
Exercice 4
On consid` ere la suite de polynˆ omes (P
n)
n∈Nd´ efinie par : ( P
0= 1 et P
1= X
∀n ∈ N , P
n+2= 2XP
n+1− P
n1. Pour tout n ∈ N , d´ eterminer la parit´ e, le degr´ e ainsi que le coefficient dominant de P
n. 2. (a) Montrer que pour tout a, b ∈ R , on a 2 cos(a) cos(b) = cos(a + b) + cos(a − b).
(b) ´ Etablir que, pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R , P
n(cos(x)) = cos(nx).
3. (a) Soit n ∈ N
∗. R´ esoudre sur [0, π] l’´ equation cos(nθ) = 0.
(b) En d´ eduire que P
nest scind´ e dans R et d´ eterminer ses racines.
(c) Donner alors une expression factoris´ ee de P
n(X).
(d) En calculant P
n(0) de deux mani` eres diff´ erentes, montrer que :
n−1
Y
k=0
