ECS2 Lyc´ ee Louis Pergaud

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DM6

L’objet du probl` eme est l’´ etude d’une famille de fonctions polynomiales appel´ ees fonctions polynˆ omes de Newton. La premi` ere partie les introduit de mani` ere alg´ ebrique. La deuxi` eme partie, tout en ´ etant li´ ee ` a la premi` ere, d´ eveloppe des th` emes relevant de l’analyse.

Partie I.

Dans toute cette partie, on notera P l’ensemble des fonctions polynomiales allant de R dans R et lorsque r est un entier naturel, on d´ esignera par P r , l’ensemble des fonctions polynomiales allant de R dans R de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` a r.

Etant donn´ ´ e Q appartenant ` a P, on se propose de d´ eterminer toutes les fonctions polynomiales P v´ erifiant : ∀x ∈ R , P (x + 1) − P (x) = Q(x).

A cet effet, on introduit l’application ∆ de ` P dans lui-mˆ eme d´ efinie lorsque P ∈ P par la relation :

∀x ∈ R , ∆(P)(x) = P(x + 1) − P (x).

1. (a) Montrer que ∆ est un endomorphisme de P .

(b) Pour P ∈ P de degr´ e r strictement positif, calculer le degr´ e de la fonction polynomiale

∆(P ).

(c) Montrer alors que le noyau de ∆ est l’ensemble des fonctions polynomiales constantes.

2. On consid` ere pour r ∈ N ^∗ l’application ∆ r : P r → P r , P 7→ ∆ r (P ) = ∆(P ).

(a) Justifier la d´ efinition de ∆ r et montrer que ∆ r est lin´ eaire.

(b) Quel est le noyau de ∆ _r ?

(c) Montrer alors que Im(∆ _r ) = P r−1 .

(d) En d´ eduire que l’application ∆ est surjective.

3. On d´ esigne par E le sous-espace vectoriel de P constitu´ e par les fonctions polynomiales s’annulant en 0. Montrer que la restriction de ∆ ` a E est un isomorphisme de E sur P .

4. (a) D´ eduire de la question pr´ ec´ edente qu’il existe une suite et une seule d’´ el´ ements de P v´ erifiant : N 0 = 1 et ∀n ∈ N ^∗ , ∆(N n ) = N n−1 et N n (0) = 0.

N _n s’appelle fonction polynomiale de Newton d’indice n.

(b) V´ erifier que pour tout entier naturel n non nul et tout x r´ eel : N _n (x) = x(x − 1) . . . (x − n + 1)

n! = 1

n!

n−1

Y

k=0

(x − k)

(c) Montrer que, pour r ∈ N , la famille (N _n ) _n∈

J 0,r K forme une base de P r . (d) On adopte la notation usuelle : ∆ ⁰ = Id _P et ∀n ∈ N ^∗ , ∆ ⁿ = ∆ ◦ ∆ ⁿ⁻¹ .

Prouver que pour toute fonction polynomiale Q de degr´ e au plus r : Q =

r

X

n=0

∆ ⁿ (Q)(0)N _n . (e) La fonction polynomiale Q ´ etant ainsi d´ ecompos´ ee, d´ eterminer les fonctions polynomiales

P v´ erifiant la relation ∀x ∈ R , P (x + 1) − P (x) = Q(x).

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(f) Application. En d´ eduire, pour n ∈ N , une expression simple de

n

X

k=0

Q(k) faisant inter-

venir P . Calculer

n

X

k=0

k ² .

5. ´ Etablir, pour toute fonction polynomiale Q, pour tout entier naturel n et tout r´ eel x, la relation :

∆ ⁿ (Q)(x) =

n

X

i=0

(−1) ⁿ⁻ⁱ n

i

Q(x + i).

6. Dans toute cette question, on suppose que r ∈ N ^∗ .

(a) On d´ esigne par C (∆ _r ) le commutant de ∆ _r , dans l’ensemble L ( P r ) des endomorphismes de P r , c’est-` a-dire C (∆ _r ) = {g ∈ L ( P r ), g ◦ ∆ _r = ∆ _r ◦ g}.

i. Pour g et h appartenant ` a C (∆ r ), montrer que, si g(N r ) = h(N r ), alors g = h.

ii. Soit g un endomorphisme de P r . Justifier l’existence de a 0 , a 1 , . . . , a r r´ eels tels que : g(N r ) = a r N r + a r−1 N r−1 + · · · + a 1 N 1 + a 0 N 0

iii. En d´ eduire que C (∆ _r ) est de dimension r + 1 et qu’il admet pour base : Id _P , (∆ _r ) ¹ , . . . , (∆ _r ) ^r−1 , (∆ _r ) ^r

iv. On introduit l’endomorphisme d de P qui ` a une fonction polynomiale P associe sa fonction d´ eriv´ ee P ⁰ . Montrer que d ◦ ∆ = ∆ ◦ d.

En supposant qu’il existe a 0 , a 1 , . . . , a r , r´ eels tels que d = a 0 Id _P +a 1 (∆) ¹ +· · ·+a _r (∆) ^r , calculer d(N r+1 ). Conclure ` a une contradiction.

(b) Pr´ eciser la matrice de ∆ _r dans la base (N _n ) _n∈

J 0,r K . Montrer que (∆ _r ) ^r+1 = 0.

(c) Existe-t-il des endomorphismes g de P r tels que g ◦ g = ∆ r ?

Partie II.

On note toujours (N n ) n∈ N la suite de fonctions d´ efinie pour tout x r´ eel par N 0 (x) = 1, et pour tout entier naturel n non nul, N n (x) = x(x − 1) . . . (x − n + 1)

n! .

1. Recherche d’un ´ equivalent de |N _n (x)| lorsque n → +∞ :

On fixe x un r´ eel non ´ egal ` a un entier naturel. Pour t r´ eel, on consid` ere la suite (u n ) n∈ N d´ efinie par u n = n ^t |N _n (x)|.

(a) Pr´ eciser, selon le r´ eel t, la nature de la s´ erie de terme g´ en´ eral v n = ln u _n+1 u n

. (b) Que conclure pour la suite (u n ) n∈ N ?

En d´ eduire qu’il existe un r´ eel strictement positif not´ e C(x) tel que |N _n (x)| ∼

n→+∞

C(x) n ^x+1 . 2. S´ erie de Newton associ´ ee ` a une fonction :

On consid` ere une application f de [0, +∞[ ` a valeurs dans R. ` A cette application, on associe la suite (a _n ) n∈ N d´ efinie par : a _n =

n

X

i=0

(−1) ⁿ⁻ⁱ n

i

f(i).

(a) Soit b > 0, pr´ eciser la suite (a n ) n∈ N

lorsque f est l’application x 7→ b ^x .

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(b) Pour n entier naturel, on note Q la fonction polynomiale

n

X

k=0

a _k N _k . Justifier que ∀k ∈ J 0, n K , a k = ∆ ^k (Q)(0).

Montrer alors que la fonction x 7→ f (x) −Q(x) = f (x) −

n

X

k=0

a _k N _k (x) s’annule en 0, 1, . . . , n.

(c) On suppose de plus que f est ind´ efiniment d´ erivable sur [0, +∞[. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout x r´ eel positif, il existe un r´ eel θ tel que :

f(x) =

n

X

k=0

a _k N _k (x) + N _n+1 (x)f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (θ)

Indication : on pourra utiliser, lorsque x 6∈ J 0, n K , la fonction auxiliaire ϕ : t 7→ f (t) −

n

X

k=0

a _k N _k (t) − N _n+1 (t)A

avec A un r´ eel choisi tel que ϕ(x) = 0, et appliquer plusieurs fois le th´ eor` eme de Rolle.

(d) On note toujours f une fonction ind´ efiniment d´ erivable sur R + et v´ erifiant la propri´ et´ e suivante :

il existe une constante M strictement positive telle que ∀x ∈ R + , ∀n ∈ N ^∗ , |f ⁽ⁿ⁾ (x)|

n ≤ M.

Montrer que : ∀x ≥ 0, f (x) =

+∞

X

k=0

a _k N _k (x).

En d´ eduire que si une telle fonction s’annule sur N , c’est la fonction nulle.

3. Etude de la s´ ´ erie X

n∈ N

h ⁿ N _n (x) avec h r´ eel :

(a) Lorsque |h| > 1, montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral h ⁿ N n (x) est divergente pour tout x r´ eel, non ´ egal ` a un entier naturel.

(b) On suppose que |h| < 1.

i. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral h ⁿ N _n (x) est absolument convergente pour tout x r´ eel.

ii. En utilisant la formule de Taylor avec reste int´ egral, montrer que pour tout n entier naturel et tout x r´ eel :

(1 + h) ^x −

n

X

k=0

h ^k N _k (x) = (n + 1)N _n+1 (x) Z h

0

h − u 1 + u

n

(1 + u) ^x−1 du.

puis ´ etablir que la suite 1

|h| ⁿ Z h

0

h − u 1 + u

n

(1 + u) ^x−1 du

n∈ N

est born´ ee.

iii. En d´ eduire

+∞

X

n=0

h ⁿ N _n (x).

(c) On suppose que h = 1.

i. Montrer que la s´ erie de terme g´ en´ eral N n (x) est divergente pour x ≤ −1.

ii. En reprenant la m´ ethode pr´ econis´ ee au II.3.b), ´ etablir que la s´ erie X

n∈ N

N _n (x) est convergente pour x > −1 et que : ∀x > −1,

+∞

X

n=0

N _n (x) = 2 ^x . (d) On suppose que h = −1.

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i. Pr´ eciser les r´ eels x pour lesquels la s´ erie de terme g´ en´ eral (−1) ⁿ N n (x) est absolument convergente. Pour quelles valeurs de x est-elle convergente ?

ii. Justifier pour tout x r´ eel et tout entier naturel n strictement positif la formule : N 0 (x) − N 1 (x) + · · · + (−1) ⁿ N n (x) = (−1) ⁿ N n (x − 1)

iii. En d´ eduire

+∞

X

n=0

(−1) ⁿ N _n (x) lorsque x ≥ 0.

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