Universit´e Antilles–Guyane DEUG MIAS UFR Sciences Exactes et Naturelles Module MIP2 D´ept Scientifique Interfacultaire 2e semestre 2002
Partiel de Math´ematiques 2 — avril 2002
Dur´ee : 3 heures — Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits.
Premi` ere partie : Alg` ebre Lin´ eaire
Exercice 1. [Les questions (1c)–(1e) sont ind´ependantes du (1b).] [5.5 pts]
(a) Montrer que l’applicationu:R3 →R3 ; (x, y, z)7→(2x−y, y+z, x+y) est un endomorphisme de R3.
(b) D´eterminer keru, le noyau de u. Peut-on d´eduire que uest injective ? (c) Montrer que l’ensembleF ={(λ+µ,2λ−µ, µ−2λ) ; λ, µ∈R}
est un s.e.v. de R3.
(d) Trouver une base deF. (Justifier la r´eponse !)
(e) D´eterminer l’image de F par u, puis une base de u(F).
Exercice 2. Soitpun endomorphisme d’un e.v. E tel quep◦p=p. Montrer que [3.5 pts]
le noyau de p et l’image de psont deux sous-espaces suppl´ementaires de E.
(Indication : consid´erer l’image par p dex−p(x).)
Deuxi` eme partie : Analyse
Exercice 3. (a) Justifier, `a l’aide d’arguments simples (sans faire de calcul), qu’il [3.0 pts]
existeα ∈Rtel que : tanx=x+α x3+o(x3) (pour x→0).
(b) A l’aide du (a), trouver unDL4(0) de x7→tan2x, en fonction de α.
(c) En d´eduire unDL4(0) de (tanx)0, puis le DL5(0) de tanx (d’abord en fonction de α, que l’on pr´ecisera en comparant ce r´esultat au (a).)
Exercice 4. (a) Montrer que f : t 7→
sint t
tan12t
(0 < |t| < π2) admet un [5.5 pts]
prolongement par continuit´e en 0, que l’on pr´ecisera. (Utiliser un D.L.) (b) D´eterminer le DL2(0) de f(t). (On peut utiliser l’exercice 3.)
(c) Faire une ´etude locale du prolongement de f au pointx= 0 (nature du point, tangente, position relative, convexit´e ou concavit´e).
Exercice 5. Calculer, pour toutm, n∈N :Im,n = Z β
α
(t−α)m(t−β)ndt , [2.5 pts]
o`u α, β sont deux r´eels quelconques.
(Indication : `a l’aide d’une int´egration par parties, trouver une relation entre Im,netIm−1,n+1, puis en d´eduireIm,n en fonction deI0,n+mque l’on calculera.)
