UPS, Licence L2 Math´ematiques, 2012-2013 Math 3 - Alg`ebre Lin´eaire et Bilin´eaire

UPS, Licence L2 Math´ematiques, 2012-2013 Math 3 - Alg`ebre Lin´eaire et Bilin´eaire

Devoir Maison No. 1 Exercise 1Soit la matrice

M =





−4 5 6 0 2 0 3 2 5



.

Trigonaliser M en pr´ecisant une matrice de passage. D´eterminer son polynˆome minimal.

Exercise 2Soit A∈M at_R(8,8) telle que :

P_A(x) = (−1−x)(1−x)³(3−x)⁴ et P_A^min(x) = (−1−x)(1−x)(3−x)². a) La matrice A est-elle diagonalisable ?

b) Que peut-on dire des dimensions des espaces propres ?

Exercise 3Soit A ∈M at_R(n, n) une matrice nilpotente. Montrer que In−A est inversible et

(Iⁿ−A)⁻¹ =Iⁿ+A+A²+. . .+A^k−1, o`uk est le plus petit nombre naturel tel que A^k = 0.

Exercise 4D´eterminer pour quelles valeurs de α∈R la matrice

M_α =





1 −2 3

0 1 0

0 1 α



.

est inversible. `A l’aide du Th´eor`eme de Cayley-Hamilton, calculerM_α⁻¹ lorsqu’il existe.

Exercise 5 Trouver le polynˆome caract´eristique et le polynˆome mini- mal de la matrice :

Z =























3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 3 −1 0 0 0 0 0 0 0 3





















 .

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(`a rendre le 26/10/2012)

SOLUTIONS

Exercise 1 On a PM(x) = det(M −xI) = (2− x)(x² − x−38) = (2−x)(λ1−x)(λ2−x), o`u λ1 = ¹⁺³

√ 17

2 , λ2 = ¹⁻³

√ 17

2 .

Il y a 3 valeurs propres distinctes donc P_M^min(x) = PM(x) = (2− x)(x²−x−38) et M est diagonalisable.

v₁ =



 a b c



∈E₂ ⇔





−4−2 5 6

0 2−2 0

3 2 5−2







 a b c



=



 0 0 0



⇔v₁ =

a



 1 12

−9



.

v₂ =



 a b c



 ∈ E_λ1 ⇔





−4−λ₁ 5 6

0 2−λ₁ 0

3 2 5−λ₁







 a b c



 =



 0 0 0





⇔v₂ =a



 1 0

4+λ1

6



.

v₃ =



 a b c



 ∈ E_λ2 ⇔





−4−λ₂ 5 6

0 2−λ₂ 0

3 2 5−λ₂







 a b c



 =



 0 0 0





⇔v3 =a



 1 0

4+λ2

6



.

Donc on a

M =C





2 0 0

0 λ₁ 0 0 0 λ₂



C⁻¹

avec la matrice de passage

C=





1 1 1

12 0 0

−9 ^4+λ₆ ^{1 4+λ}₆ ²



=





1 1 1

12 0 0

−9 ²⁺

√17 4

2−√ 17 4





Exercise 2

PA(x) = (−1−x)^s1(1−x)^s2(3−x)^s3 etP_A^min(x) = (−1−x)^m1(1−x)^m2(3−x)^m3, o`us₁ = 1, s₂ = 3, s₃ = 4, m₁ = 1, m₂ = 1, m₃ = 2.

a) La matrice A n’est pas diagonalisable car m₃ = 2>1.

b) Que peut-on dire des dimensions des espaces propres ? dimE−1 =s₁ = 1 car m₁ = 1 ;

dimE₁ =s₂ = 3 car m₂ = 1 ; dimE₃ < s₃ = 4 car m₃ = 2 >1 ;

La taille maximale des blocs Jordans qui ont la valeur propre 3 est m₃ = 2, et la taille totale de ces blocs est s₄ = 4, donc on a seulement 2 possibilit´es pour les blocs de Jordan de valeur propre 3 dans la forme normale de Jordan de M :

i) Soit il y a deux blocs de taille 2, dans ce cas dimE₃ = 2.

ii) Soit il y a 1 bloc de taille 2 et 2 blocs de taille 1, dans ce cas dimE₃ = 3.(La dimension de l’espace propre d’une valeur propreγ est

´egale au nombre de blocs de Jordan de valeur propre γ dans la forme normale de Jordan).

Exercise 3Nous avons

(Iⁿ+A+A²+. . .+A^k−1)(Iⁿ−A) = Iⁿ−A^k =Iⁿ donc

(Iⁿ−A)⁻¹ =Iⁿ+A+A²+. . .+A^k−1. Exercise 4 On a detM_α = 1.

1 0 1 α

= α, donc la matrice M_α est inversible si et seulement si α6= 0.

En plus,

det(Mα−xI³) = (1−x)²(α−x)

=−[x³−(α+ 2)x²+ (2α+ 1)x−α]

Th´eor`eme de Cayley-Hamilton ⇒

M_α³−(α+ 2)M_α²+ (2α+ 1)M_α−αI3 = 0

⇒M_α[M_α²−(α+ 2)M_α+ (2α+ 1)I3] =αI3

⇒M_α⁻¹ = 1

α[M_α²−(α+ 2)M_α+ (2α+ 1)I3]

= 1 α[





1 −1 3 + 3α

0 1 0

0 1 +α α²



−(α+2)





1 −2 3

0 1 0

0 1 α



+(2α+1)





1 0 0 0 1 0 0 0 1



]

= 1 α





α 2α+ 3 −3

0 α 0

0 −1 1



.

Exercise 5On a

P_Z(x) = det(Z−xI8) =

3−x

3−x 2 0 3−x

4−x 5 6 7−x

3−x −1 0

0 3−x −1

0 0 3−x

= (3−x)³

4−x 5 0 0 0

6 7−x 0 0 0

0 0 3−x −1 0

0 0 0 3−x −1

0 0 0 0 3−x

= (3−x)⁶

4−x 5 6 7−x

= (x−3)⁶(x²−11x−2) = (x−3)⁶(x− 11 +√ 129

2 )(x− 11−√ 129

2 )

DoncP_Z^min(x) = (x−3)^m(x²−11x−2) o`u 1≤m≤6.On peut montrer que m= 3 (c’est la taille maximale des blocs Jordan qui ont la valeur propre 3), donc

P_Z^min(x) = (x−3)³(x²−11x−2)