Alg´ebre lin´eaire

Table des mati` eres

1 Les matrices 3

1.1 Vocabulaire . . . 3

1.2 Op´erations sur les matrices . . . 4

1.3 L’alg`ebre des matrices carr´ees . . . 7

1.4 Transpos´ee d’une matrice . . . 10

1.5 Diff´erentes interpr´etations du produit matriciel . . . 12

1.6 Trace d’une matrice . . . 14

1.7 Matrices d´ecompos´ees en blocs . . . 15

1.7.1 Matrices extraites . . . 15

1.7.2 Matrices blocs . . . 15

1.7.3 Op´erations sur les matrices blocs . . . 16

2 Familles de vecteurs 17 2.1 Familles libres et g´en´eratrices . . . 17

2.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . 18

2.3 Base canonique . . . 22

2.4 Exemples . . . 23

2.5 Application lin´eaire associ´ee `a une famille de vecteurs . . . 27

2.6 Image d’une famille par une application lin´eaire . . . 27

2.7 Rang d’une famille de vecteurs . . . 32

2.8 Matrice d’une application lin´eaire . . . 32

3 Les syst`emes lin´eaires 38 3.1 Trois interpr´etations d’un syst`eme lin´eaire . . . 38

3.2 Les op´erations ´el´ementaires . . . 39

3.3 M´ethode du pivot de Gauss . . . 42

3.4 M´ethode du pivot total . . . 45

3.5 M´ethode de Gauss-Jordan . . . 46

4 Somme de sous-espaces vectoriels 47

4.1 Sommes et sommes directes . . . 47

4.2 Suppl´ementaires d’un sous-espace vectoriel . . . 49

4.3 Rang d’une application lin´eaire . . . 52

4.4 Propri´et´es des sommes directes . . . 53

4.4.1 Un moyen de d´efinir une application lin´eaire . . . 53

4.4.2 Formules dimensionnelles . . . 54

4.4.3 Associativit´e des sommes directes . . . 56

4.4.4 Base adapt´ee `a une d´ecomposition en somme directe . . . 58

4.5 Les projecteurs . . . 59

4.6 Sous-espaces propres . . . 62

4.6.1 D´efinitions . . . 62

4.6.2 Exemples . . . 65

4.6.3 Propri´et´es . . . 65

5 Changement de base 66 5.1 Matrice de passage . . . 66

5.2 Diagonalisation et trigonalisation . . . 68

5.3 Trace d’un endomorphisme . . . 71

5.4 Matrices ´equivalentes et matrices semblables . . . 71

5.4.1 Matrices ´equivalentes . . . 71

5.4.2 Propri´et´es du rang d’une matrice . . . 73

5.4.3 Matrices semblables . . . 74

6 Les hyperplans 75 6.1 En dimension quelconque . . . 75

6.2 En dimension finie . . . 76

6.3 Les hyperplans affines . . . 77

6.4 Application aux syst`emes lin´eaires . . . 78

7 D´eterminants 80 7.1 Applications multilin´eaires . . . 80

7.2 Les trois notions de d´eterminants . . . 84

7.2.1 Volume . . . 84

7.2.2 D´eterminant d’un syst`eme den vecteurs . . . 87

7.2.3 D´eterminant d’une matrice . . . 89

7.2.4 D´eterminant d’un endomorphisme . . . 90

7.3 Propri´et´es du d´eterminant . . . 90

7.4 Calcul des d´eterminants . . . 92

7.5 Formules de Cramer . . . 95

7.6 Exemples de d´eterminants. . . 96

7.6.1 D´eterminant de Vandermonde . . . 96

7.6.2 D´eterminants tridiagonaux . . . 99

7.7 Le polynˆome caract´eristique . . . 102

7.7.1 D´efinition . . . 102

7.7.2 Propri´et´es du polynˆome caract´eristique . . . 104

7.7.3 Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables . . . 107

Notation. K d´esigne un corps quelconque.

Selon le programme, “en pratique, K est ´egal `a Rou C”.

Notation. Symbole de Kronecker : Si i et j sont deux objets math´ematiques, on convient queδi,j = 0 lorsquei6=j etδi,i = 1 lorsquei=j.

1 Les matrices

1.1 Vocabulaire

D´efinition. Soit (n, p) ∈ N^∗2. On appelle matrice `a n lignes et `a p colonnes (`a coefficients dans K) toute famille de scalaires index´ee parNⁿ×N^p.

SiM = (m_i,j)(i,j)∈Nn×Np = (m_i,j)^1≤i≤n

1≤j≤p, on repr´esente M sous la forme suivante : M =





m_1,1 · · · m_1,p ... ... m_n,1 · · · m_n,p



,

o`u le (i, j)<sup>`eme</sup> coefficient est situ´e `a l’intersection de lai<sup>`eme</sup> ligne et de la j^`eme colonne.

Une matrice est donc un tableau de scalaires.

Notation.

— L’ensemble des matrices `a coefficients dansK, `a n lignes etp colonnes est not´e M_K(n, p) ou M_n,p(K).

— De plus, M_K(n, n) est souvent not´e M_K(n) ou M_n(K).

D´efinitions :

— Une matrice ligne est une matrice ne poss´edant qu’une ligne.

— Une matrice colonne est une matrice ne poss´edant qu’une colonne.

— Une matrice carr´ee est une matrice poss´edant autant de lignes que de co- lonnes.

— Soit M = (m_i,j)∈ M_K(n, p).

M est une matrice triangulaire sup´erieure si et seulement si

∀(i, j)∈Nⁿ×N^p (i > j =⇒m_i,j = 0).

— M est une matrice triangulaire inf´erieure si et seulement si

∀(i, j)∈Nn×Np (i < j =⇒m_i,j = 0).

— M est une matrice diagonale si et seulement si

∀(i, j)∈Nn×Np (i6=j =⇒m_i,j = 0).

On note alors M = diag(m_1,1, . . . , m_n,n).

— SoitM une matrice diagonale et carr´ee. On dit queM est unematrice scalaire si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont ´egaux.

En particulier, lorsque tous ses coefficients diagonaux sont ´egaux `a 1, on obtient la matrice identit´e, not´eeI_n.

Ainsi, M est une matrice scalaire si et seulement s’il existe λ ∈ K tel que M =λI_n.

D´efinition. Soit M = (α_i,j)∈ M_K(n, p).

Pour j ∈Np, on appelle j^{`eme</sup> vecteur colonne de M la quantit´e (α<sub>1,j</sub>, . . . , α<sub>n,j</sub>)∈K<sup>n</sup>. Pour i∈N<sup>n</sup>, on appelle i<sup>`eme} vecteur ligne deM la quantit´e (αi,1, . . . , αi,p)∈K^p. Remarque. Lorqu’aucune ambigu¨ıt´e n’est possible, on identifie Kⁿ avec M_K(n,1) (ensemble des matrices colonnes).

Plus rarement, un vecteur de Kⁿ sera vu comme un ´el´ement de M_K(1, n) (ensemble des matrices lignes).

1.2 Op´ erations sur les matrices

D´efinition. M_K(n, p) = K^Nn×Np, or Kest un K-espace vectoriel , donc M_K(n, p) est unK-espace vectoriel : On dispose ainsi des lois d’addition et de multiplication par un scalaire.

Exemple. 3

1 2 −1

0 0 3

−

0 4 −1

2 3 1

=· · ·.

D´efinition du produit matriciel : Soit (n, p, q)∈(N^∗)³. Soient A= (ai,j)∈ M_K(n,p) et B = (bj,k)∈ M_K(p, q).

On appelle produit des matrices A et B la matrice C = (c_i,k) ∈ M_K(n, q) d´efinie par

∀(i, k)∈Nn×Nq c_i,k =

p

X

j=1

a_i,jb_j,k.

Exemple. Soit a∈K :

1 −1

2 1





a 1

−a a

0 0









a+ 2 1−a

a 2a

0 0





Convention : sauf pr´ecision du contraire, lorsque A est une matrice, on notera Ai,j

son coefficient de position (i, j).

Ainsi, lorsque A et B sont deux matrices telles que le nombre p de colonnes de A est

´

egal au nombre de lignes de B, la d´efinition du produit matriciel se r´esume par : [AB]_i,j =

p

X

k=1

A_i,kB_k,j.

Formule pour le produit de trois matrices : Soit (n, m, l, p)∈(N^∗)⁴. Soient A= (a_i,j)∈ M_K(n,m),B = (b_j,k)∈ M_K(m,l) et C = (c_k,h)∈ M_K(l, p).

Pour tout i, h∈Nn×Np, [(AB)C]_i,h = [A(BC)]_i,h = X

1≤j≤m 1≤k≤l

A_i,jB_j,kC_k,h.

D´emonstration.

Soit (i, h)∈Nn×Np. [(AB)C]_i,h =

l

X

k=1

[AB]_i,kC_k,h =

l

X

k=1 m

X

j=1

A_i,jB_j,k

!

C_k,h=

m

X

j=1 l

X

k=1

A_i,jB_j,kC_k,h.

Remarque. On pourrait g´en´eraliser en donnant l’expression des coefficients du pro- duit deN matrices en fonction des coefficients de ces N matrices.

Exemple. On consid`ere un ensemble S = {s₁, . . . , s_n} fini de cardinal n, dont les

´

el´ements sont appel´es des sommets, et une partie A de S², dont les ´el´ements sont appel´es des arˆetes. On a ainsi d´efini un graphe orient´e, dont l’ensemble des sommets estS et l’ensemble des arˆetes est A.

La matrice d’adjacence de ce graphe est, par d´efinition, la matrice M ∈ M_n(R) sui- vante : pour tout i, j ∈ {1, . . . , n},M_i,j = 1 si (s_i, s_j)∈A et M_i,j = 0 sinon.

Alors, pour tout p∈ N, [M^p]_i,j correspond au nombre de chemins de longueur p per- mettant de passer de s_i `a s_j : en effet, [M^p]_i,j = X

1≤i1,...,ip−1≤n

M_i,i1M_i1,i2· · ·M_ip−1,j, et M_i,i1M_i1,i2· · ·M_ip−1,j est ´egal `a 1 si et seulement si le chemin

s_i → s_i1 → · · · → s_ip−1 → s_j est bien une succession d’arˆetes du graphe, et il est ´egal

`

a 0 sinon.

Propri´et´e. La multiplication matricielle est associative.

Propri´et´e. La mutiplication matricielle est distributive par rapport `a l’addition.

D´emonstration.

Soit A∈ M_n,p etB, C ∈ M_p,q. Alors A(B+C) = AB+AC car [A(B+C)]_i,k =

p

X

j=1

A_i,j(B_j,k +C_j,k) =

p

X

j=1

A_i,jB_j,k +

p

X

j=1

A_i,jC_j,k = [AB+AC]_i,j. De mˆeme, on montre que siD∈ M_n,p(K), (A+D)B =AB+DB.

Propri´et´e. Soit A∈ M_n,p,B ∈ M_p,q eta∈K. Alors a(AB) = (aA)B =A(aB).

D´emonstration.

[a(AB)]i,k =

p

X

j=1

aAi,jBj,k = [(aA)B)]i,k = [A(aB))]i,k. Propri´et´e. Pour toutM ∈ M_K(n, p),I_nM =M I_p =M. D´emonstration.

[I_nM]_i,k = X

1≤j≤n

δ_i,jM_j,k =M_i,k.

Propri´et´e. Soit n, p∈N^∗ etM ∈ M_K(n, p).

Pour tout X ∈K^p =M_K(p,1), M X ∈ M_K(n,1) = Kⁿ. SiX =



 x₁

... x_p



, alors ∀i∈ {1, . . . , n}, [M X]_i =

p

X

j=1

M_i,jx_j .

SiX =



 x₁

... x_p



, alors M X =x1M1 +· · ·xpMp , en notant M₁, . . . , M_p les colonnes de M.

D´emonstration.

[M X]_i,1 =

p

X

j=1

M_i,jX_j,1, donc avec d’autres notations, [M X]_i =

p

X

j=1

M_i,jx_j. Ainsi, [M X]i =

p

X

j=1

xj[Mj]i, o`u [Mj]i d´esigne la i-`eme composante de Mj. Propri´et´e. Soit n, p∈N^∗ etM ∈ M_K(n, p).

Soit j ∈ {1, . . . , p}. La j-`eme colonne de M est M c<sub>j</sub>, o`u c_j = (δ_i,j)1≤i≤n∈K^p. Propri´et´e. Soit n, p∈N^∗ etM ∈ M_K(n, p).

Alors l’application M˜ : K^p −→ Kⁿ

X 7−→ M X est une application lin´eaire que l’on appelle l’application lin´eaire canoniquement associ´ee `a la matrice M.

Propri´et´e. Soit n, p ∈ N^∗. Alors M_K(n, p) −→ L(K^p,Kⁿ)

M 7−→ M˜ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

D´emonstration.

Soit A, B ∈ M_K(n, p) et λ∈K. Pour toutX ∈Kⁿ,

(λA^+B)(X) = (λA+B)X = λAX +BX = λA(X) + ˜˜ B(X) = (λA˜+ ˜B)(X). Ceci prouve que M 7−→M˜ est lin´eaire.

Soit u ∈ L(K^p,Kⁿ). S’il existe M ∈ M_K(n, p) telle que ˜M = u, alors, pour tout j ∈ {1, . . . , p}, la j-`eme colonne de M est ´egale `a M c_j = ˜M(c_j) = u(c_j). Donc si M existe, elle est unique.

Pour la synth`ese, notons M la matrice deM<sub>K</sub>(n, p) dont la j-`eme colonne est ´egale `a u(c_j) =M_j, pour tout j ∈ {1, . . . , p}. Ainsi, pour tout j ∈ {1, . . . , p}, u(c_j) = ˜M(c_j).

Soit X ∈K^p. En posant X =



 x₁

... x_p



, X =

p

X

j=1

x_jc_j, donc u(X) =

p

X

j=1

x_ju(c_j) =

p

X

j=1

x_jM_j =M X = ˜M(X), doncu= ˜M.

Ainsi, pour tout u∈ L(K^p,Kⁿ), il existe une unique M ∈ M_K(n, p) telle que ˜M =u, ce qui prouve queM 7−→M˜ est une bijection.

Remarque. Avec les notations pr´ec´edentes, pour toutX ∈K^p, ˜M(X) = M X. Il est fr´equent que l’on identifie M et ˜M. Alors, pour tout X ∈ K^p, M(X) = M X. Cette identification n’est pas syst´ematique cependant.

D´efinition. Soit M ∈ M_K(n, p).

Ker(M)= Ker( ˜^∆ M) = {X ∈K^p / M X = 0}.

Im(M)= Im( ˜^∆ M) ={M X / X ∈K^p}.

Corollaire. Soit (M, M⁰)∈ M_K(n, p). Alors,

(∀X ∈K^p M X =M⁰X)⇐⇒M =M⁰. D´emonstration.

Si∀X ∈K^p M X =M⁰X, alors ˜M =Mf⁰, donc par injectivit´e, M =M⁰.

1.3 L’alg` ebre des matrices carr´ ees

Notation. On fixe un entier n non nul.

Propri´et´e. (M_n(K),+, .,×) est une K-alg`ebre, non commutative d`es que n≥2.

ATTENTION : (M_n(K),+, .,×) n’est pas int`egre, d`es que n≥2.

En effet,

0 1 0 0

2

= 0.

Ainsi, lorsqueA, B, C ∈ M_n(K), AB= 0=6⇒(A= 0)∨(B = 0) et (C 6= 0)∧(AC =BC)=6⇒A=B.

Cependant, lorsque C est inversible, alors AC =BC =⇒A=B. D´efinition. Soit A∈ M_n(K).

On dit que A est nilpotente si et seulement si il existe p∈N^∗ tel que A^p = 0.

ATTENTION : L’anneau (M_n(K),+,×) n’est pas commutatif, ce qui nous prive d’un certain nombre de r´egles : siA, B ∈ Mn(K),

— (AB)^p 6=A^pB^p;

— (A−B)(A+B) 6= A² −B²; plus g´en´eralement, la formule de Bernoulli n’est plus valable, lorsque A etB ne commutent pas.

— (A+B)² 6=A²+B²+ 2AB. plus g´en´eralement, la formule de Newton n’est plus valable, lorsque A etB ne commutent pas.

Propri´et´e. M_K(n) −→ L(Kⁿ)

M 7−→ M˜ est un isomorphisme d’alg`ebres.

D´emonstration.

ϕ(I_n) =Id_Kⁿ.

Pour tout A, B ∈ M_K(n) et X ∈Kⁿ,

(AB)(X) = (AB)X] =A(BX) = ˜A( ˜B(X)) = [ ˜A◦B](X).˜

Corollaire. Soit A ∈ M_K(n). A est inversible dans M_K(n) si et seulement si ˜A est inversible dans L(Kⁿ) et dans ce cas, M]⁻¹ = ˜M⁻¹.

Corollaire. Soit A ∈ M_K(n). A est inversible dans M_K(n) si et seulement si, pour tout Y ∈Kⁿ, il existe un unique X ∈Kⁿ tel que AX =Y.

Formule : Dans M₂(K),M =

a b c d

est inversible si et seulement si

det(M)=^∆ ad−cb6= 0, et dans ce cas a b

c d ⁻¹

= 1

det(M)

d −b

−c a

. D´emonstration.

Supposons que det(M)6= 0.

On calcule

a b c d

×

d −b

−c a

=

ad−bc 0 0 −cb+ad

= det(M)I₂, donc

a b c d

× 1 det(M)

d −b

−c a

=I₂. De mˆeme on v´erifie que 1

det(M)

d −b

−c a

×

a b c d

=I2, donc M est inversible etM⁻¹ = 1

det(M)

d −b

−c a

. Supposons que ad−bc= 0.

Alors

a b c d

d

−c

= 0 et

a b c d

b

−a

= 0, donc d

−c

, b

−a

∈ Ker( ˜M).

On en d´eduit que Ker( ˜M)6={0}lorsque M 6= 0, donc que ˜M n’est pas inversible, puis queM n’est pas inversible. LorsqueM = 0, comme dans tout anneau non nul,M n’est pas inversible.

Exemple.

1 5

−3 2 −1

= 1 17

2 −5

3 1

.

On en d´eduit les formules de Cramer pour la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire de deux

´

equations `a deux inconnues :

Formule de Cramer : Soita, b, c, d, e, f ∈K⁴. On consid`ere le syst`eme lin´eaire (S) : ax+by =e

cx+dy=f , en les inconnues (x, y)∈K².

Lorsque det =ad−cb=^∆

a b c d

6= 0, (S)⇐⇒

















 x=

e b f d det y=

a e c f det

.

D´emonstration.

PosonsM =

a b c d

, X =

x y

etY = e

f

. Alors (S)⇐⇒M X =Y. On suppose que det(M)6= 0, donc M est inversible.

Alors (S)⇐⇒X =M⁻¹Y = 1 det(M)

d −b

−c a

e f

. Exemple.

x+ 5y = 1

−3x+ 2y = 1 ⇐⇒

x=−₁₇³ y= ⁴ .

Notation. On note GL_n(K) le groupe des inversibles de M_n(K). On l’appelle le groupe lin´eaire de degr´e n.

Exemple. Un automorphisme int´erieur de M_n(K) est un automorphisme surM_n(K) de la forme M 7−→AM A⁻¹ o`uA∈GLn(K).

Propri´et´e. L’ensemble des matrices diagonales de M_n(K) est une sous-alg`ebre com- mutative de M_n(K).

Propri´et´e. Pour touti∈Nn, on posec_i = (δ_i,j)1≤j≤n ∈Kⁿ.

Pour tout i ∈ {0, . . . , n}, on note F_i = Vect(c_k)1≤k≤i. Ainsi, F₀ = {0} et pour tout

i∈ {1, . . . , n}, F_i =n















 x₁

... x_i

0... 0

















/ x₁, . . . , x_i ∈K o

.

Si M ∈ M_n(K), alors M est triangulaire sup´erieure si et seulement si, pour tout j ∈ {1, . . . , n},Fj est stable par ˜M.

D´emonstration.

M est triangulaire sup´erieure si et seulement si, pour tout j ∈ {1, . . . , n}, la j-`eme colonne de M, ´egale `a ˜M(cj), est une combinaison lin´eaire de c1, . . . , cj, donc si et seulement si (C) : ∀j ∈ {1, . . . , n}, M(c˜ _j)∈F_j.

Or si tout lesF_j sont stables par ˜M, alors pour toutj, sachant quec_j ∈F_j, ˜M(c_j)∈F_j, donc (C) est v´erifi´ee.

R´eciproquement, si l’on suppose (C), pour j fix´e dans {1, . . . , p}, pour tout k ∈ {1, . . . , j}, ˜M(c_k)∈F_k⊂F_j, donc Vect({M˜(c_k)/1≤k ≤j})⊂F_j, or

Vect({M˜(c_k)/1≤k ≤j}) ={

j

X

k=1

α_kM˜(c_k)/ α₁, . . . , α_j ∈K}

={M˜X^j

k=1

α_kc_k

/ α₁, . . . , α_j ∈K}

= ˜M(Vect({c_k/1≤k ≤j})),

donc Vect({M˜(c_k)/1≤k ≤j}) = ˜M(F_j), si bien que ˜M(F_j)⊂F_j. Propri´et´e. On suppose que n≥2.

— L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures (respectivement : inf´erieures) deM_n(K) est une sous-alg`ebre non commutative deM_n(K).

— Le produit d’une matrice triangulaire sup´erieure dont la diagonale est (a1, . . . , an) par une matrice triangulaire sup´erieure dont la diagonale est (b₁, . . . , b_n) est une matrice triangulaire sup´erieure dont la diagonale est (a₁b₁, . . . , a_nb_n).

D´emonstration.

Premi`ere d´emonstration :

NotonsT l’ensemble des matrices sup´erieures.I_n ∈ T,T est stable pour l’addition et la multiplication par un scalaire, donc pour montrer queT est une sous-alg`ebre, il reste

`

a montrer qu’il est stable pour le produit. Or, si A, B ∈ T, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, (AB)(F] _i) = ˜A( ˜B(F_i)) ⊂A(F˜ _i), car B ∈ T donc ˜B(F_i) ⊂ F_i, donc (AB)(F] _i) ⊂ F_i, ce qui prouve que AB∈ T.

Soit j ∈ {1, . . . , n}.Acj est laj-`eme colonne de A etA∈ T, donc Acj =Aj,jcj+d, o`ud∈Fj−1. De mˆeme, Bc_j =B_j,jc_j +d⁰, o`u d⁰ ∈Fj−1.

Ainsi, (AB)c_j =A(B_j,jc_j +d⁰) =B_j,jAc_j +Ad⁰ =A_j,jB_j,jc_j +B_j,jd+Ad⁰.

Or A∈ T et d⁰ ∈ Fj−1, donc Ad⁰ ∈Fj−1 et d ∈Fj−1. Ceci d´emontre que le coefficient de position (j, j) de AB est ´egal `a A_j,jB_j,j.

Seconde d´emonstration : Par calcul matriciel direct.

Soient A= (a_i,j) et B = (b_i,j) deux matrices triangulaires sup´erieures.

Soit (i, j)∈N²naveci > j. Le coefficient de position (i, j) deABvaut

n

X

k=1

a_i,kb_k,j. Mais, pour toutk ∈Nn, i > k ouk > j (sinon,i≤k ≤j, donc i≤j, ce qui est faux). Or A etB sont triangulaires sup´erieures, donc, pour tout k∈Nⁿ,a_i,k = 0 oub_k,j = 0, ce qui prouve que le (i, j)^`eme coefficient de AB est nul. AinsiAB est une matrice triangulaire sup´erieure.

De plus, le coefficient de position (i, i) de AB vaut

n

X

k=1

a_i,kb_k,i. Mais, pour tout k ∈ Nn, a_i,kb_k,i est non nul si et seulement si i ≤ k et k ≤ i, donc si et seulement si k =i. Ainsi, le (i, i)^`eme coefficient de AB vauta_i,ib_i,i.

Exercice. Soit M ∈ M_K(n) une matrice triangulaire sup´erieure stricte, c’est-`a- dire triangulaire sup´erieure et de diagonale nulle.

Montrer que pour toutk ∈ {1, . . . , n},M^kest une matrice triangulaire sup´erieure dont les k diagonales sup´erieures (en partant de la diagonale principale) sont nulles. En d´eduire que M est nilpotente.

Solution :En adaptant ce qui pr´ec`ede, on montre que pour tout i∈ {1, . . . , n}, M(F˜ _i)⊂Fi−1, puis par r´ecurrence surk que, pour tout k ∈ {1, . . . , n},

eti∈ {1, . . . , n}, ˜M^k(F_i)⊂F_i−ken convenant que pour touth∈Z\N,F_h ={0}.

1.4 Transpos´ ee d’une matrice

D´efinition. Soit A = (α_i,j) ∈ M_K(n, p). On appelle transpos´ee de la matrice A et on note ^tA la matrice (β_i,j)∈ M_K(p, n) d´efinie par

∀(i, j)∈Np×Nn β_i,j =α_j,i. En r´esum´e, [^tA]_i,j =A_j,i.

ATTENTION : Si A= (α_i,j)∈ M_K(n, p), alors (α_j,i)^1≤j≤n

1≤i≤p =A.

Exemples.

— ^tI_n=I_n. Plus g´en´eralement, pour toute matrice diagonaleD∈ M_K(n),^tD=D.

— La transpos´ee de



 1 2 2 3 4 5



 est

1 2 4

2 3 5

.

— La transpos´ee d’une matrice triangulaire sup´erieure est triangulaire inf´erieure.

Propri´et´e. Pour toutA∈ M_K(n, p), ^t(^tA) = A.

Propri´et´e. L’application M_K(n, p) −→ M_K(p, n)

M 7−→ ^tM est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Propri´et´e. Soit (A, B)∈ M_K(n, p)× M_K(p, q). Alors, ^t(AB) =^tB ^tA.

D´emonstration.

Soit i∈ {1, . . . , n}et k ∈ {1, . . . , q}.

[^tB ^tA]_k,i=

p

X

j=1

[^tB]_k,j[^tA]_j,i =

p

X

j=1

B_j,kA_i,j = [AB]_i,k = [^t(AB)]_k,i. Corollaire. Si A∈GL_n(K),^tA∈GL_n(K) et (^tA)⁻¹ =^t(A⁻¹).

D´emonstration.

Soit A∈GL_n(K). Alors AA⁻¹ =I_n, donc I_n=^tI_n=^t(AA⁻¹) = ^t(A⁻¹)^tA.

De mˆeme, on montre que ^tA ^t(A⁻¹) = In. D´efinition. Soit M ∈ M_n(K).

M est unematrice sym´etrique si et seulement si^tM =M. M est unematrice antisym´etrique si et seulement si ^tM =−M. Exemples.





1 0 1 0 3 2 1 2 4



 est sym´etrique et





0 a 1

−a 0 2

−1 −2 0



est antisym´etrique.

Remarque. Lorsque car(K)6= 2, siM ∈ M_n(K) est antisym´etrique, sa diagonale est nulle.

Notation. S_n(K) d´esigne l’ensemble des matrices sym´etriques d’ordren.

A_n(K) d´esigne l’ensemble des matrices antisym´etriques d’ordren.

Propri´et´e. Sn(K) et An(K) sont des sous-espaces vectoriels de Mn(K), mais ce ne sont pas des sous-alg`ebres. Cependant, elles sont stables par passage `a l’inverse : si A∈ S_n(K)∩GL_n(K) (resp :A∈ A_n(K)∩GL_n(K)) ,

alors A⁻¹ ∈ Sn(K) (resp : A∈ An(K)).

D´emonstration.

Notons T l’op´erateur de tranposition. Alors S_n(K) = Ker(T −Id_Mn(K)) etA_n(K) = Ker(T +IdM_n(K)), donc ce sont des sous-espaces vectoriels.

0 1 1 0

×

1 0 0 0

=

0 0 1 0

, donc S_n(K) n’est pas stable pour le produit : ce n’est pas un sous-anneau.

I_n∈ A/ _n(K), donc ce n’est pas un sous-anneau.

Soit A une matrice inversible. Si ^tA = A, alors ^t(A⁻¹) = (^tA)⁻¹ =A⁻¹ donc A⁻¹ est sym´etrique.

C’est analogue si A est antisym´etrique.

1.5 Diff´ erentes interpr´ etations du produit matriciel

Au niveau des coefficients :

SiA ∈ M_K(n,p) et B ∈ M_K(p, q), [AB]_i,k =

p

X

j=1

A_i,jB_j,k.

Remarque. D’apr`es cette formule, les coefficients de la k-`eme colonne de AB ne d´ependent que de A et de la k-`eme colonne de B. Plus pr´ecis´ement, on voit que la k-`eme colonne deAB est ´egale `a AB<sub>k</sub> siB<sub>k</sub> d´esigne la k-`eme colonne de B.

D’o`u l’interpr´etation suivante :

Au niveau des colonnes de la matrice de droite : Soit A∈ M_K(n,p) et B ∈ M_K(p, q).

Notons B₁, . . . , B_q les colonnes de B, ce qui permet d’´ecrire B = B₁ B₂ · · · Bq. Alors AB = AB₁ AB₂ · · · ABq. En r´esum´e, si B₁, . . . , B_q sont des vecteurs colonnes deK^p, A× B₁ B₂ · · · B_q = AB₁ AB₂ · · · AB_q .

En d´ecomposant la matrice de droite en blocs de colonnes : Soit A∈ M_K(n,p) et B ∈ M_K(p, q). Soit r∈ {1, . . . , q−1}.

Notons B⁰ la matrice constitu´ee des r premi`eres colonnes de B et B⁰⁰ celle qui est constitu´ee des colonnes suivantes : B⁰ = (B_j,k)^1≤j≤p

1≤k≤r etB⁰ = (B_j,k+r) ^1≤j≤p

1≤k≤q−r).

Ainsi, on peut d´ecomposerB en blocs :B = B⁰ B⁰⁰. Alors AB= AB⁰ AB⁰⁰. En r´esum´e, A× B⁰ B⁰⁰ = AB⁰ AB⁰⁰ .

Au niveau des colonnes de la matrice de gauche :

— Si M ∈ M_K(n, p) etX ∈K^p, M X est une combinaison lin´eaire des colonnes de M. Plus pr´ecis´ement, si l’on noteM₁, . . . , M_p les colonnes de M etX =



 x₁

... x_p



, M X =x₁M₁+· · ·+x_pM_p .

— Soient A ∈ M_K(n, p) et B ∈ M_K(p, q). Les colonnes de AB sont des combi- naisons lin´eaires des colonnes de A : en notant A₁, . . . , A_p les colonnes de A et B = (b_i,j), la j<sup>`eme</sup> colonne deAB est ´egale `a b1,jA1+· · ·+bp,jAp .

Exemple. Si M ∈ M_K(n, p), la j-`eme colonne de M est ´egale `a M ×(δi,j)1≤j≤p.

La premi`ere colonne priv´ee de la derni`ere est ´egale `a M











 1 0... 0

−1











 .

Propri´et´e. Pour toutM ∈ M_K(n, p),

Im(M) est l’espace vectoriel engendr´e par les colonnes de M. D´emonstration.

Im(M) ={M X / X ∈K^p}={

p

X

j=1

x_jM_j / x₁, . . . , x_j ∈K}.

Remarque. En prenant la transpos´ee de ces diff´erentes relations, on obtient des interpr´etations au niveau des lignes des matrices :

Au niveau des lignes de la matrice de gauche :

Soit A∈ M_K(n,p) etB ∈ M_K(p, q). Notons₁A, . . . ,_nA les lignes deA, ce qui permet d’´ecrire A =







1A ...

nA





. Alors AB =







1AB ...

nAB





. En r´esum´e, si 1A, . . . ,nA sont des

vecteurs lignes de taille n,







1A ...

nA





×B =







1AB ...

nAB





 . D´emonstration.

En transposant l’´egalit´e A× B₁ B₂ · · · B_q = AB₁ AB₂ · · · AB_q, on obtient







tB₁ ...

tB_q





×^tA=







tB₁^tA ...

tB_q^tA





.

En d´ecomposant la matrice de gauche en blocs de lignes : Soit A∈ M_K(n,p) et B ∈ M_K(p, q). Soit r∈ {1, . . . , n−1}.

NotonsA⁰la matrice constitu´ee desrpremi`eres lignes deAetA⁰⁰celle qui est constitu´ee des lignes suivantes : A⁰ = (A_i,j)^1≤i≤r

1≤j≤p et A⁰⁰ = (A_i+r,j)^{1≤i≤n−r}

1≤j≤p . Ainsi, on peut d´ecomposerA en blocs : A=

A⁰ A⁰⁰

. Alors AB =

A⁰B A⁰⁰B

. En r´esum´e,

A⁰ A⁰⁰

×B =

A⁰B A⁰⁰B

.

Au niveau des lignes de la matrice de droite :

— Si M ∈ M_K(n, p) et X ∈ M_1,n, XM est une combinaison lin´eaire des lignes de M. Plus pr´ecis´ement, si l’on note₁M, . . . ,_nMles lignes deM etX = (x₁ · · · x_n),

XM =x₁×₁M +· · ·+x_n×_nM .

— SoientA ∈ M_K(n, p) etB ∈ M_K(p, q). Les lignes de AB sont des combinaisons lin´eaires des lignes de B : en notant ₁B, . . . ,_pB les lignes de B et A = (a_i,j),

la i<sup>`eme</sup> ligne de AB est ´egale `a ai,1×1B+· · ·+ai,p×pB .

Exemple. Notons U ∈Kⁿ le vecteur Attila, dont toutes les composantes sont ´egales

`

a 1. Pour tout A∈ M_n(K),AU est un vecteur colonne, obtenu en sommant toutes les

colonnes deA, ^tU A est un vecteur ligne, obtenu en sommant toutes les lignes de A, et

tU AU est un scalaire, ´egal `a la somme de tous les coefficients de A.

1.6 Trace d’une matrice

D´efinition. Soit M = (m_i,j)∈ M_n(K).

La trace de la matrice M est Tr(M) =

n

X

i=1

m_i,i. Exemple. Tr(I_n) = n.

Propri´et´e. La trace est une forme lin´eaire de M_n(K).

Propri´et´e. Soit A∈ M_n,p(K) et B ∈ M_p,n(K). Alors, Tr(AB) = Tr(BA).

D´emonstration.

Notons A= (ai,j) et B = (bi,j).

Tr(AB) =

n

X

i=1 p

X

k=1

a_i,kb_k,i

!

= X

1≤i≤n 1≤k≤p

b_k,ia_i,k =

p

X

k=1 n

X

i=1

b_k,ia_i,k

!

= Tr(BA).

Exemple. Soit X =



 x₁

... x_n



∈Kⁿ. Alors Tr(X ^tX) = ^tXX =

n

X

i=1

x²_i.

Remarque. Si A∈ M_n,p(R), Tr(^tAA) =

p

X

i=1 n

X

j=1

A²_j,i, doncA = 0⇐⇒Tr(^tAA) = 0.

ATTENTION : Si (A, B, C)∈ M_n(K)³, on peut ´ecrire

Tr(ABC) = Tr((AB)C) = Tr(C(AB) = Tr(CAB), ou Tr(ABC) = Tr(BCA), mais en g´en´eral Tr(ABC)6= Tr(ACB).

D´efinition. Soit A, B ∈ M_n(K). On dit que A et B sont semblables si et seulement si il existe P ∈GL_n(K) telle que B =P AP⁻¹.

La relation de similitude (“ˆetre semblable `a”) est une relation d’´equivalence surM_n(K).

Remarque. Pour une matrice A donn´ee dansM_n(K), “r´eduire A”, c’est trouver une matrice semblable `a A aussi simple que possible.

La th´eorie de la r´eduction des matrices est au centre du programme d’alg`ebre de seconde ann´ee.

D´efinition. Une matrice de M_n(K) est diagonalisable (resp : trigonalisable) si et seulement si elle est semblable `a une matrice diagonale (resp : triangulaire sup´erieure).

Propri´et´e. Deux matrices semblables ont la mˆeme trace, mais la r´eciproque est fausse.

D´emonstration.

Soient (M, M⁰)∈ M_n(K) un couple de matrices semblables. Il existe P ∈GL_n(K) tel que M⁰ =P⁻¹M P. Ainsi Tr(M⁰) = Tr((P⁻¹M)P) = Tr(P(P⁻¹M)) = Tr(M).

Prenons A=

0 1 0 0

: Tr(A) = 0 = Tr(0), mais si A ´etait semblable `a la matrice nulle, il existerait P ∈GL_n(K) telle que A=P0P⁻¹ = 0, ce qui est faux.

1.7 Matrices d´ ecompos´ ees en blocs

1.7.1 Matrices extraites

D´efinition. Soitn, p∈Net soitI etJ deux parties deNtelles que|I|=n et|J|=p.

Notons 0≤ i₁ ≤i₂ ≤ · · · ≤i_n les ´el´ements de I et 0 ≤j₁ ≤i₂ ≤ · · · ≤ j_p les ´el´ements deJ.

Alors on convient d’identifier toute famille (Mi,j)(i,j)∈I×J descalairesindex´ee parI×J avec la matrice (M_ih,jk)^1≤h≤n

1≤k≤p ∈ M_K(n, p).

Ainsi, on identifie globalement M_K(n, p) = K^Nn×Np avec K^I×J.

Exemple. Il est en particulier parfois pratique de faire d´ebuter les indices de lignes et de colonnes `a partir de 0.

Par exemple, (max(i, j))^0≤i≤2

0≤j≤2 =





0 1 2 1 1 2 2 2 2



.

Remarque. Lorsque I ouJ est vide, I×J =∅ etK^I×J poss`ede un unique ´el´ement, que l’on appellera la matrice vide.

D´efinition. Soit n, p ∈ N^∗ et M ∈ M_K(n, p). Une matrice extraite de M est une matrice de la forme (M_i,j)_(i,j)∈I×J, o`u I ⊂Nⁿ et J ⊂N^p.

Exemple. . . .

1.7.2 Matrices blocs

D´efinition. Soient (n₁, . . . , n_a)∈(N^∗)^a et (p₁, . . . , p_b)∈(N^∗)^b. On pose n=

a

X

i=1

ni et p=

b

X

j=1

pj.

Pour tout (i, j)∈N^a×N^b, consid´erons une matriceM_i,j ∈ M_K(n_i, p_j).

Alors la famille de ces matrices M = (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b peut ˆetre identifi´ee `a une matrice poss´edant n lignes et p colonnes. On dit que M est une matrice d´ecompos´ee en blocs, de dimensions (n₁, . . . , n_a) et (p₁, . . . , p_b).

Exemple. Posons A=

0 1

−1 0

etB =

1 1 1 1

. A A B

B B A

est une matrice d´ecompos´ee en blocs.

Elle est ´egale `a









0 1 0 1 1 1

−1 0 −1 0 1 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 −1 0







 .

Remarque. Choisissons A =

0 1 2

−1 0 2

, B =

1 1 1 1

etC = −2

0

. Au sens de la d´efinition pr´ec´edente,

A B C

n’est pas une matrice d´ecompos´ee en blocs. Ainsi, le th´eor`eme ci-dessous, relatif au produit matriciel, ne s’applique pas `a ce type de matrices. Cependant, cette d´ecomposition peut ˆetre utilis´ee pour d´ecrire une matrice.

D´efinition. La d´efinition pr´ec´edente peut ˆetre g´en´eralis´ee : Soit n, p ∈ N^∗. Soit (Ii)1≤i≤a et (Jj)1≤j≤b des partitions respectivement de Nⁿ et de N^p. Alors on peut identifier toute matrice M = (m_i,j)^1≤i≤n

1≤j≤p de M_K(n, p) avec la famille des matrices extraites (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤p, o`uM_i,j = (m_h,k)(h,k)∈I_h×J_k. On dit encore que (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤p est une

´

ecriture par blocs de la matriceM, associ´ee aux partitions (I_i)1≤i≤a et (J_j)1≤j≤b. Avec ces notations, pour tout α, β ∈ Nn×Np, m_α,β = [M_i,j]_α,β, o`u (i, j) est l’unique couple tel que α∈Ij et β∈Jj.

D´efinition. Reprenons les notations de la premi`ere d´efinition.

La matrice M = (Mi,j)^1≤i≤a

1≤j≤b est une matrice triangulaire sup´erieure par blocs

si et seulement si, pour tout (i, j)∈N^a×N^b tel que i > j,Mi,j = 0.

De mˆeme on d´efinit la notion de matrice triangulaire inf´erieure par blocs.

La matrice M = (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b est une matrice diagonale par blocs si et seulement

si, pour tout (i, j)∈Na×Nb tel que i6=j, M_i,j = 0.

1.7.3 Op´erations sur les matrices blocs

Combinaison lin´eaire de matrices d´ecompos´ees en blocs : Soient M = (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b et N = (N_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b deux matrices d´ecompos´ees en blocs selon les mˆemes partitions (I_i)1≤i≤a et (J_j)1≤j≤b respectivement deNn et de Np.

Pour tout (u, v)∈K², uM +vN se d´ecompose en blocs selon la formule suivante : uM +vN = (uM_i,j+vN_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b. D´emonstration.

Notons M = (m_α,β)^1≤α≤n

1≤β≤p etN = (n_α,β)^1≤α≤n

1≤β≤p.

Soit α∈Nn etβ ∈Np. Il existe un unique (i, j)∈Na×Nb tel que α∈I_i etβ ∈J_j. Alorsm_α,β = [M_i,j]_α,β etn_α,β = [N_i,j]_α,β, donc u m_α,β+v n_α,β = [u M_i,j+v N_i,v]_α,β. Produit matriciel de deux matrices d´ecompos´ees en blocs : soit n, p, q∈N^∗. Soit M = (M_i,j)^1≤i≤a

1≤j≤b une matrice d´ecompos´ee en blocs selon les partitions (I_i)1≤i≤a et (J_j)1≤j≤b respectivement deNn et de Np.

Soit N = (N_j,k)^1≤j≤b

1≤k≤c une matrice d´ecompos´ee en blocs selon la mˆeme partition (J_j)1≤j≤b deNp et une partition (K_k)1≤k≤c de Nq.

AlorsM N peut ˆetre vue comme une matrice d´ecompos´ee en blocs selon les partitions (Ii)1≤i≤a de Nⁿ et (Kk)1≤k≤c deN^q et :

M N =X^b

j=1

M_i,jN_j,k

1≤i≤a 1≤k≤c

.

En r´esum´e, le produit de deux matrices par blocs se comporte comme le produit ma- triciel usuel.

D´emonstration.

Notons M = (m_α,β)^1≤α≤n

1≤β≤p etN = (n_β,γ)^1≤β≤p

1≤γ≤q. Soit α, γ ∈Nn×Nq. Il s’agit de montrer que

p

X

β=1

m_α,βn_β,γ =hX^b

j=1

M_i,jN_j,ki

α,γ

, o`u (i, k) est l’unique couple tel que α∈I_i etγ ∈K_k. Or,

hX^b

j=1

M_i,jN_j,ki

α,γ =

b

X

j=1

[M_i,jN_j,k]_α,γ =

b

X

j=1

X

β∈J_j

[M_i,j]_α,β[N_j,k]_β,γ, donc hX^b

j=1

M_i,jN_j,ki

α,γ

=

b

X

j=1

X

β∈Jj

m_α,βn_β,γ =

p

X

β=1

m_α,βn_β,γ.

Application : Produit de matrices triangulaires (resp : diagonales) par blocs, puis- sances de telles matrices.

2 Familles de vecteurs

Notation. Pour ce chapitre, on fixe unK-espace vectorielEet un ensemble quelconque I (´eventuellement infini).

2.1 Familles libres et g´ en´ eratrices

D´efinition. Soit (x_i)i∈I une famille de vecteurs de E.

• Elle estlibre si et seulement si

∀(α_i)i∈I ∈K^(I)

X

i∈I

α_ix_i = 0 =⇒(∀i∈I α_i = 0)

! .

• Elle estli´ee si et seulement si elle n’est pas libre, c’est-`a-dire si et seulement si

∃(αi)i∈I ∈K^(I)\ {0} X

i∈I

αixi = 0.

• Elle estg´en´eratrice dans E si et seulement si

∀x∈E ∃(αi)i∈I ∈K^(I) X

i∈I

αixi =x.

Ainsi (xi)i∈I est toujours g´en´eratrice dans Vect(xi)i∈I.

• C’est une base de E si et seulement si elle est libre et g´en´eratrice dansE.

Remarque. Dans la d´efinition d’une famille li´ee, la condition “(α_i)i∈I 6= 0” est essen- tielle. En effet, si on l’oublie, comme 0 =X

i∈I

0.x_i, toute famille serait li´ee.

Remarque. Lorsque I =∅, on dit que (x_i)_i∈I est la famille vide.

La famille vide est libre, car la propri´et´e “∀i∈ ∅ α_i = 0” est vraie.

D’apr`es les conventions du cours sur les groupes, l’unique combinaison lin´eaire de cette famille est 0, donc la famille vide n’est pas g´en´eratrice dansE, sauf si E ={0}.

En particulier, on remarquera que la famille vide est l’unique base de{0}.

Exemple. Dans K[X], la famille (1, X + 1, X −1) est li´ee.

Dans R^R, la famille (cos,sin) est libre, car siαsin +βcos = 0, alors 0 =αsin(0) +βcos(0) =β et 0 =αsin(^π₂) +βcos(^π₂) = α.

D´efinition. Deux vecteurs x et y d’un K-espace vectoriel E sont colin´eaires si et seulement si la famille (x, y) est li´ee.

Propri´et´e. Soit e= (e_i)_i∈I une famille de vecteurs de E.

e est une base de E si et seulement si

∀x∈E ∃!(α_i)i∈I ∈K^(I) X

i∈I

α_ie_i =x.

Dans ce cas, pour x ∈ E, on appelle coordonn´ees de x dans la base (e_i)i∈I l’unique famille presque nulle de scalaire (αi)i∈I telle que x=X

i∈I

αiei.

2.2 Dimension d’un espace vectoriel

D´efinition. E est de dimension finie si et seulement s’il admet une famille g´en´eratrice contenant un nombre fini d’´el´ements. Sinon, on dit qu’il est de dimension infinie.

Remarque. On dira qu’un espace vectoriel est de “dimension quelconque” lorsqu’il est de dimension finie ou de dimension infinie.

Exemple.

R² ={x(1,0) +y(0,1)/ (x, y)∈R²}= Vect((1,0),(0,1)) est de dimension finie.

Kn[X] = Vect(1, X, . . . , Xⁿ) est de dimension finie.

Lemme : Soit n ∈N ete1, . . . , en∈E.

Toute famille (x₁, . . . , x_n+1) de n+ 1 vecteurs de Vect(e₁, . . . , e_n) est li´ee.

D´emonstration.

Soitn ∈N. On noteR(n) l’assertion : pour toute₁, . . . , e_n ∈E, toute famille (x₁, . . . , x_n+1) den+ 1 vecteurs de Vect(e1, . . . , en) est li´ee.

Pourn = 0, si x₁ ∈Vect(∅) = {0},x₁ est nul, donc (x₁) est une famille li´ee.

Supposons que n≥1 et que R(n−1) est vraie.

Soit e1, . . . , en∈E et (x1, . . . , xn+1) une famille de n+ 1 vecteurs de Vect(e1, . . . , en).

Pour tout j ∈ {1, . . . , n+ 1}, il existe (α_i,j)1≤i≤n ∈Kⁿ tel que x_j =

n

X

i=1

α_i,je_i.

Premier cas : si, pour tout j ∈ {1, . . . , n+ 1}, α_n,j = 0, alors (x₁, . . . , x_n) est une famille de n vecteurs de Vect(e₁, . . . , en−1), donc d’apr`es R(n−1) elle est li´ee. Alors (x₁, . . . , x_n+1) est aussi li´ee.

Second cas : supposons maintenant qu’il existe j₀ ∈ {1, . . . , n+ 1} tel que α_n,j0 6= 0 : nous allons l’utiliser comme un pivot. Quitte `a r´eordonner les vecteursx₁, . . . , x_n+1, on peut supposer que j₀ =n+ 1. Ainsi, α_n,n+1 6= 0.

Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, posons y_j =x_j − α_n,j

α_n,n+1x_n+1 : y_j ∈ Vect(e₁, . . . , en−1), donc d’apr`esR(n−1), la famille (y₁, . . . , y_n) est li´ee. Ainsi, il existe (β₁, . . . , β_n)∈Kⁿ\ {0}

tel que 0 =

n

X

j=1

β_jy_j =

n

X

j=1

β_jx_j+λx_n+1, o`uλ∈K. La famille de scalaires (β₁, . . . , β_n, λ) est non nulle, donc (x1, . . . , xn+1) est li´ee.

Corollaire. Si (e₁, . . . , e_n) est une famille g´en´eratrice de E, alors toute famille libre deE est de cardinal inf´erieur ou ´egal `an.

Th´eor`eme de la base incompl`ete : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et (e_i)i∈I une famille g´en´eratrice de E (on ne suppose pas qu’elle contient un nombre fini d’´el´ements). Soit J ⊂I tel que (e_i)i∈J est une famille libre.

Alors il existe un ensembleL avec J ⊂L⊂I tel que (e_i)_i∈L est une base de E.

Cela signifie que toute famille libre f de E peut ˆetre compl´et´ee en une base de E `a l’aide de vecteurs d’une famille g´en´eratrice de E ( Inutile : qui contient f).

D´emonstration.

On note D l’ensemble des cardinaux des familles libres (ei)i∈K, o`u J ⊂K ⊂I.

D est une partie non vide deN. De plus,E est de dimension finie, donc il poss`ede une famille g´en´eratrice finie. Notons n son cardinal. Alors d’apr`es le corollaire pr´ec´edent, D est major´ee par n. D poss`ede donc un plus grand ´el´ement, not´e m et il existe une famille libre b = (e_i)_i∈L avec J ⊂L⊂I tel que |L|=m.

Supposons que, pour touti₀ ∈I\L,e_i0 ∈Vect(b). Alors pour touti∈I, e_i ∈Vect(b), donc E = Vect(e_i)i∈I ⊂Vect(b), doncb est g´en´eratrice et libre, ce qui prouve que c’est une base de E. Il suffit donc de montrer que pour tout i₀ ∈I\L, e_i0 ∈Vect(b).

Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe i₀ ∈I\L tel que e_i0 ∈/ Vect(b).

Posons L⁰ = L∪ {i₀}. Montrons que b⁰ = (e_i)i∈L∪{i0} est libre, ce qui contredira la d´efinition dem. Soit (α_i)i∈L∪{i0} une famille de scalaires telle que X

i∈L∪{i0}

α_ie_i = 0.

Siα_i0 6= 0, on peut ´ecrire e_i0 =− 1 α_i0

X

i∈L

α_ie_i, ce qui est exclu car e_i0 ∈/Vect(b).

Ainsi, α_i0 = 0, donc X

i∈L

α_ie_i = 0, or b est libre, donc pour tout i∈L,α_i = 0.

Remarque. En adaptant la d´emonstration, on a ´egalement prouv´e les propri´et´es suivantes, en dimension quelconque :

Propri´et´e. Soit (e_i)i∈I une famille libre de vecteurs de E. Soit e_j ∈E, o`uj /∈I.

La famille (e_i)_i∈I∪{j} est libre si et seulement si e_j ∈/ Vect(e_i)_i∈I. Propri´et´e.

Soient E unK-espace vectoriel et g = (e_i)i∈I une famille g´en´eratrice deE.

On dit qu’une sous-famille libre (e_i)_i∈J de g est maximale dans g si et seulement si pour tout i₀ ∈I\J, la famille (e_i)i∈J∪{i₀} est li´ee.

Si (e_i)i∈J est libre maximale dans g, alors c’est une base deE.

Corollaire. Une famille libre de vecteurs de E est maximale si et seulement si en lui ajoutant un vecteur elle devient li´ee.

Toute famille libre maximale de vecteurs de E est une base de E.

Corollaire. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.

Toute famille libre de E peut ˆetre compl´et´ee en une base deE.

D´emonstration.

On applique le th´eor`eme de la base incompl`ete en prenant comme famille g´en´eratrice deE la famille (x)_x∈E de tous les vecteurs de E.

D´efinition. Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.

E admet au moins une base. Toutes les bases de E sont finies et ont mˆeme cardinal.

Ce cardinal est appel´e la dimension deE et est not´e dim(E) ou dim_K(E).

D´emonstration.

La famille vide est libre et d’apr`es le corollaire pr´ec´edent, on peut la compl´eter en une base.

Soit b et b⁰ deux bases de E, de cardinaux n et n⁰.

b est g´en´eratrice de E etb⁰ est libre, donc n⁰ =|b⁰| ≤ |b|=n.

De mˆeme on montre que n≤n⁰.

Propri´et´e. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie ´egale `a n et soit e une famille deE. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

1. e est une base de E.

2. e est libre et de cardinaln.

3. e est g´en´eratrice et de cardinal n.