Mai 2019 L3
Math´ematiques
Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire.
ECRIRE LE NUMERO DE COPIE SUR LE SUJET
Documents et calculatrice interdits. Pas de justification (pour les exercices) = 0 pts T ´EL ´EPHONE SORTI DU SAC = EXCLUSION DE L’ ´EPREUVE
QCM. Entourer la bonne r´eponse.
Bonne r´eponse = +1. Mauvaise r´eponse = -1. Pas de r´eponse = 0. La note du QCM ne sera pas inf´erieure `a 0
Rappel. Sn(R) ={A∈Mn(R)|tA=A}, Sn(R)++={A∈Sn(R)|Aest d´efinie positive}.
(1) Soit n >1 et soitX={B∈Sn(R)|B2= 3I}. Alors le cardinal de X est
0 1 2 ∞
(2) Soit n >1 et soitY ={B∈Sn++(R)|B2= 3I}. Alors le cardinal deY est
0 1 2 ∞
(3) Soitqune forme quadratique r´eelle n´egative. Alors le noyau deqcoincide avec le cˆone isotrope deq.
VRAI FAUX
(4) La baseB= (v1= 0
−1 0
, v2=2
2 1
, v3=1
1 1
) deC3est une base de Jordanisation pour la matrice
A=
2 0 0
−1 2 1 0 0 2
∈M3(C).
VRAI FAUX
(5) Soit E unC-espace vectoriel de dimension 6 et soit f ∈L(E) tel queχf(x) = (1−x)6et µf(x) = (x−1)3. Alors dans la r´eduite de JordanJf de f il y a deux blocs de Jordan de taille 3 et valeur propre 1 si et seulement si dim(ker(f−id)2) = 4.
VRAI FAUX
(6) Soit b une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur Rn et soit F un sous-espace vectoriel de Rn. AlorsRn=F⊕F⊥b.
VRAI FAUX
TOURNER SVP
QUESTIONS de COURS.(4 points)
a) Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie ´egale `a n et soit f ∈ L(E). D´efinir les sous-espaces caract´eristiques (ou sous-espaces propres g´en´eralis´es) def.
b)SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie ´egale `anet soitf ∈L(E).D´emontrer que les projecteurs sur les sous-espaces propres g´en´eralis´es def (i.e. les projecteurs spectraux) sont des polynˆomes en f. c) Enoncer le th´´ eor`eme spectral dans le cas d’un espace euclidien.
Exercice 1. (5 points)SoitA∈M4(C) la matrice
−1 1 0 0
−9 5 0 0
1 0 2 1
0 0 0 2
.
a) Calculer le polynˆome minimal et la r´eduite de Jordan deA.
b) Donner une base deC4 qui soit de Jordanisation pourA.
c) Donner la d´ecomposition de Dunford deAet calculer, pour toutr≥1, la puissanceAr.
d) Soit B ∈M4(C) une matrice telle que χB =χA et µB =µA. Est-est elle ´equivalente `a A? Justifier.
Est-elle semblable `aA? Justifier.
Exercice 2. (2 points)Soit n > 1. Calculer toutes les matrices sym´etriques r´eelles A de taille n d´efinies negatives qui v´erifient
A5=−A4+ 2A3+ 2A2−A−I.
Justifier.
Exercice 3. (2 points)SoitA∈Mn(R).D´emontrer queA∈Sn++(R) si et seulement si il existe une matrice inversibleB∈GLn(R) telle queA=tBB.
Exercice 4. (3 points)
a) SoitE un espace vectoriel complexe de dimension 9 et soitf ∈L(E) tel que
χf(x) =−(x−1)4(x−2)3(x−3)2, µf(x) = (x−1)2(x−2)2(x−3).
Quelles sont les possibles r´eduites de Jordan def? Justifier.
b) SoitE un espace vectoriel complexe de dimensionnet soitf ∈L(E) tel que χf(x) = (−1)n
r
Y
i=1
(x−λi)mi= (−1)nµf(x).
Quelle est la r´eduite de Jordan def? Justifier. Quelle est, pour chaquei, la dimension de Eλi? Justifier.
