Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 19
Semaine du 1er/3/2021 au 6/3/2021 Questions de cours :
1. Montrer qu’une famille est li´ee si et seulement si l’un de ses vecteurs est une combinaison lin´eaire de d’autres vecteurs de la famille.
2. Preuve de la description explicite du sous-espace vectoriel engendr´e par une partie.
3. SoitF une famille de vecteurs. Montrer l’´equivalence entreF est une base, tout vecteur se d´ecompose de mani`ere unique dansF,F est g´en´eratrice minimale,F est libre maximale (au sens de l’inclusion).
4. Le noyau et l’image d’une application lin´eaire sont des sous-espaces vectoriels (avec la proposition qui permet d’obtenir ces r´esultats).
5. Montrer que l’image par une application lin´eaire d’une partie g´en´eratrice de l’espace de d´epart engendre l’image de l’application lin´eaire.
6. (f(ei))i∈I est libre ⇐⇒ (ei) est libre et kerf ∩Vect (ei) ={0E}.
7. Caract´erisation de l’injectivit´e/surjectivit´e/bijectivit´e d’une application lin´eaire par l’image d’une base de l’espace de d´epart.
8. Existence et unicit´e d’une application lin´eaire envoyant une base donn´ee de l’espace de d´epart sur une famille de vecteurs impos´ee.
9. Preuve de la caract´erisation de la somme directe depsous-espaces vectoriels.
10. Caract´erisation des projecteurs vectoriels (p2=p).
11. Caract´erisation des sym´etries vectorielles (s2=id).
Th` eme de la colle : Alg` ebre lin´ eaire.
1. Espaces vectoriels.
(a) D´efinitions et exemples. Calculs dans un espace vectoriel.
(b) Produit d’espaces vectoriels.
(c) Sous-espaces vectoriels.
(d) Famille libre, famille li´ee, famille g´en´eratrice.
2. Applications lin´eaires.
(a) D´efinition.
(b) Noyau et image. Image de familles libres, li´ees.
(c) Structures alg´ebriques sur LK(E, F) (espace vectoriel des applications lin´eaires deE dans F,groupe des automorphismes).
Sous-espaces vectoriels suppl´ementaires, bases d’un espace vectoriel
1. Somme de sous-espaces vectoriels.
(a) Somme de sous-espaces vectoriels. Somme directe de sous-espaces vectoriels.
(b) Sous-espaces vectoriels suppl´ementaires.
2. Exemples d’applications lin´eaires.
(a) Homoth´eties.
(b) Projections vectorielles.
(c) Sym´etries vectorielles.
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Consignes particuli`eres :
Semaine prochaine : th´eorie de la dimension et th´eor`eme du rang.
Vincent Bayle
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