Sup PCSI2 — Contrˆole 2006/07
Obligatoires: copies s´epar´ees pour chaque partie ; num´erotation des copies de 1/n `a n/n; votre nom sur chaque copie ; num´erotation des questions ; r´esolution dans l’ordre de l’´enonc´e ; au moins une ligne saut´ee entre deux questions cons´ecutives (`a d´efaut, la note de la copie est z´ero).
Interdits: encre rouge, crayon, tippex, salet´e excessive (mˆeme remarque).
Recommand´es: preuves rigoureuses et concises ; pr´esentation soign´ee ; orthographe tol´erable.
Probl` eme 1 : alg` ebre lin´ eaire
IE est unK-e.v. L(E) est laK-alg`ebre des endomorphismes deE,GL(E) le groupe des automorphismes de E. Notonsidl’endomorphisme identit´e. fk est d´efini parf0=id etfk+1=f ◦fk pourk∈N.
Q1 Soientf etg deux endomorphismes deE. Comparez ker(f) et ker(g◦f), puis im(f) et im(f◦g).
Q2 Soient f et g deux endomorphismes deE. Supposons quef ◦g◦f =f. Que pouvez-vous dire def ◦g et g◦f?
ISoient f et g deux endomorphismes de E. Nous dirons que g est un pseudo-inverse def lorsque les trois conditions suivantes sont simultan´ement v´erifi´ees :
(i) f◦g◦f =f (ii) g◦f◦g=g (iii) f ◦g=g◦f
Q3 Soit f ∈ L(E) poss`edant deux pseudo-inversesg eth. En ´evaluantf◦g◦f ◦h, prouvez que f◦h=g◦f, puis queg=h.
INous avons montr´e que, s’il existe, le pseudo-inverse def est unique.
Q4 Quel est le pseudo-inverse d’un projecteurp?
Q5 Soientf et gdeux endomorphisme deE qui commutent :f◦g=g◦f. Montrez que, pour toutk∈N,f et gk commutent. Vous raisonnerez par r´ecurrence.
Q6 Soit f un ´el´ement de L(E) poss`edant un pseudo-inverse g. Prouvez que, pour tout k∈ N, fk poss`ede un pseudo-inverse, dont vous donnerez l’expression en fonction deget k.
Q7 Soient f ∈ L(E) poss`edant un pseudo-inverse g, et h un automorphisme de E. Prouvez que h◦f ◦h−1 poss`ede un pseudo-inverse, dont vous donnerez l’expression en fonction deget h.
IDans les quatre questions suivantes,f d´esigne un ´el´ement deL(E) tel queE= ker(f)⊕im(f).
Q8 Un(e) de vos camarades affirme quef est un projecteur. Que pensez-vous de son affirmation ? Q9 Soit u∈E. Montrez qu’il existe un et un seulw∈im(f) tel quef(w)−u∈ker(f).
ID´efinissons alorsg: E→E parg(u) =w.
Q10 Prouvez queg∈ L(E).
Q11 Prouvez queg est le pseudo-inverse def.
IDans les trois questions suivantes,f est un endomorphisme deE poss`edant un pseudo-inverseg.
Q12 ´Etablissez l’´egalit´e im(f) = im(g).
Q13 ´Etablissez l’´egalit´e ker(f) = ker(g).
Q14 Montrez quef◦gest le projecteur sur im(f) parall`element `a ker(f).
IDans les trois questions suivantes,f,hetksont trois endomorphismes deEqui v´erifientf2◦h=k◦f2=f. Q15 ´Etablissez l’´egalit´ek◦f◦h=f ◦h2=k2◦f.
Q16 ´Etablissez l’´egalit´ef◦h=k◦f.
Q17 Montrez quek◦f◦hest le pseudo-inverse def.
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2 : analyse
INotonsE=C(R,R).
Q1 Soit f ∈E; justifiez l’existence de la fonctionF : x∈R7→
Z 1
0
tf(x−t)dt.
Q2 En effectuant le changement de variable u=x−t, montrez que F est de classe C1, et explicitezF0(x) en faisant intervenir une primitiveϕdef.
INous noterons d´esormaisL(f) la fonction d´efinie par L(f) (x) =
Z 1
0
tf(x−t)dtpour toutx∈R Q3 V´erifiez queL: f ∈E7→ L(f) est un endomorphisme deE.
Q4 Lest-il surjectif ?
ISoita∈R∗; notonsfa : t∈R7→eat. Q5 Explicitez L(fa)
(x) pourx∈R. Q6 Calculez la limite de L(fa)
(x) lorsqueatend vers 0.
IDans les cinq questions suivantes,f est la fonctiont∈R7→ 1
1 +|t|. Nous notonsF =L(f) etγF la courbe repr´esentative deF.
Q7 Montrez que 06F(x)6 1
2 pour toutx∈R.
Q8 ExplicitezF(x) pour x60, puis pour 0< x <1, et enfin pourx>1.
Q9 Donnez un ´equivalentsimpledeF(x) lorsquex→ −∞, puis lorsquex→+∞. Pr´ecisez la nature exacte des branches infinies deγF, et leurs places respectives par rapport `a cette derni`ere.
Q10 Sans avoir recours `aF0, pr´ecisez le sens de variation deF sur chacun des intervalles ]− ∞,0] et [1,+∞[.
Q11 ExplicitezF0(x) etF00(x) pour 0< x <1. En d´eduire le tableau des variations deF, et tracezγF.
[Contr^ole 2006/07] Compos´e le 20 mars 2007
