Universit´ e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Examen de rattrapage Licence de Math´ ematiques Analyse Hilbertienne et Num´ erique
29 janvier 2007 9h – 12h
R´ esoudre chaque probl` eme sur une feuille s´ epar´ ee. Les appareils
´ electroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront ˆ etre r´ edig´ ees de mani` ere rigoureuse. Lorsque des r´ esultats du cours seront utilis´ es, ils devront clairement ˆ etre ´ enonc´ es. On notera que certaines questions peuvent ˆ etre r´ esolues ind´ ependamment.
Probl`eme I.(50 points) Soit Aune matrice de Cn×m, avecm≤n.
1. (a) Montrer que A∗A est une matrice hermitienne de Cm×m dont les valeurs propres sont positives.
On classera dans la suite les valeurs propres deA∗Apar ordre d´ecroissant en les supposant non toutes nulles (i.e., 0 6= λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λm ≥ 0) et on notera, pour 1 ≤ k ≤ m, σk =√
λk (valeurs singuli`eres de A).
(b) Montrer que kAk2 = σ1, o`u k · k2 est la norme spectrale (on pourra utiliser le fait que kAk2=p
kA∗Ak2).
(c) Soient vk un vecteur propre associ´e `a une valeur propreλk >0 de A∗A et uk le vecteur d´efini par uk = Avk/σk, 1 ≤ k ≤ p = rang(A). Montrer qu’`a partir de ces vecteurs on peut d´efinir deux matrices unitaires,U ∈Cn×n etV ∈Cm×m, telles que
U∗AV =
Σp [0]p×m−p
[0]m−p×p [0]m−p×n−p
, o`u Σp= diag(σ1, ..., σp)∈Rp×p. (d) V´erifier que A=Pp
k=1σkukvk∗ et A∗A=Pp
k=1σk2vkvk∗. 2. (a) Rappeler la d´efinition de l’inverse g´en´eralis´e A† de A.
(b) En utilisant les notations pr´ec´edentes, v´erifier que A†=
p
X
k=1
1
σkvku∗k, AA†=
p
X
k=1
uku∗k et A†A=
p
X
k=1
vkv∗k.
(c) V´erifier que si p = rang(A) = m, alors A† = (A∗A)−1A∗. Que se passe t-il dans le cas p= rang(A) =m=n?
3. On suppose `a pr´esent que A ∈Rn×m et on s’int´eresse `a la r´esolution du syst`eme Aa =b, o`u b∈Rn et rang(A) =m≤n. On note ¯ala solution de ce syst`eme au sens des moindres carr´es.
(a) En utilisant la question2.(c), montrer que la r´esolution de ce probl`eme revient `a r´esoudre un syst`eme lin´eaire de type B¯a =c, o`u B ∈ Rm×m et c ∈ Rm. Expliciter B et c et en d´eduire l’existence et l’unicit´e de ¯a.
(b) Soient M et N deux matrices de Rm×m telles que B = M −N. On d´efinit une suite (a(k))k∈N parM a(k+1)=N a(k)+c. ´Ecrire l’´equation v´erifi´ee par l’erreure(k)=a(k)−¯a.
(c) On suppose queM est inversible. Donner et justifier une condition sur la matriceM−1N pour que la suite (a(k))k∈N converge vers ¯a (on pourra utiliser le fait que, pour toute matrice carr´eeW, il existe une norme subordonn´eek · ktelle quekWk<1 si et seulement siρ(W)<1).
(d) Soient A=
1 2 3 5 1 1
etb=
3 8 2
. Calculer A† et ¯a.
Probl`eme II.(50 points) SoitA∈Rn×nune matrice inversible etb∈Rn. On se propose de r´esoudre le syst`eme Aa=b. On note I la matrice unit´e de taille net, pour touti∈ {1, . . . , n},ui =Atei (la i`eme ligne de A).
1. Soit Cun sous-espace affine deRn et soitaun pointRn. Montrer quep∈Rn est la projection de asur C si et seulement si
p∈C et (∀c∈C) hc−p|a−pi= 0.
2. Pour tout i∈ {1, . . . , n}, soit
Si=
a∈Rn| ha|uii=hb|eii
l’hyperplan affine correspondant `a lai`eme ´equation du syst`eme et soit Pi:Rn→Rn:a7→a− hAa−b|eiiui/kuik2. (a) Montrer que, pour tout a∈Rn,Piaest la projection de asurSi. (b) Montrer que (∀a∈Rn)Pia= I−AtDiA
a+AtDib, o`u Di =eieti/kuik2.
3. SoientW ∈Rn×netw∈Rntels queρ(W)<1 et (I−W)ea=w. Supposons que (a(k))k≥0 soit une suite de Rn g´en´er´ee suivant la r´ecursion
(∀k∈N) a(k+1)=W a(k)+w.
Alors (a(k))k≥0 converge versea.
4. Etant donn´´ e a(0) ∈Rn, on consid`ere l’algorithme (∀k∈N) a(k+1)= 1
n
n
X
i=1
2Pia(k)−a(k) .
(a) Illustrer par un croquis dans le plan euclidien le passage dea(k) `a a(k+1). (b) Montrer que cet algorithme peut ˆetre mis sous la forme
(∀k∈N) a(k+1) =
I− 2 nAtDA
a(k)+ 2
nAtDb, o`u D= diag(1/kuik2)1≤i≤n. (c) Montrer que (∀i∈ {1, . . . , n}) tr(AtDiA) = 1 et en d´eduire que tr(AtDA) =n.
(d) Montrer queσ(AtDA)⊂]0, n[ et en d´eduire que ρ(I−2AtDA/n)<1.
(e) Soit a∗ la solution du syst`eme et e(k) = a(k)−a∗ l’erreur `a l’it´eration k. Montrer que e(k)= (I−2AtDA/n)ke(0).
(f ) Etablir la convergence de la suite (a´ (k))k≥0 vers la solution du syst`eme.
