Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6. LM 260. Examen de Math´ematiques du 8 Janvier 2014

Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris 6. LM 260.

Examen de Math´ematiques du 8 Janvier 2014 Dur´ee 3h. Les documents sont interdits. Les exercices sont ind´ependants.

Exercice I

D´eterminer le rayon de convergence r de la s´erie enti`ere X+∞

n=1

xⁿ⁺¹ n(n+ 1)

et ´ecrire sa somme (sur ]−r, r[) sous la forme d’une fonction ´el´ementaire.

Exercice II 1) a) Montrer que la formule

x >0, f(x) = Z +∞

0

e^−xt 1 +t² dt

d´efinit une fonction f sur ]0,+∞[, puis que f est de classe C². b) D´eterminer la limite de f(x) quand x tend vers +∞.

c) Montrer qu’on a f⁰⁰(x) +f(x) = 1/xpour tout x >0.

2) On pose :

x >0, u(x) = Z ^+∞

x

sint

t dt, v(x) = Z ^+∞

x

cost t dt.

a) En utilisant une int´egration par parties, d’abord sur un segment [x, T], montrer que les int´egrales g´en´eralis´ees pr´ec´edentes sont convergentes.

b) Montrer que u(x) et v(x) tendent vers 0 quand x tend vers +∞. c) Quelles sont les d´eriv´ees des fonctions u et v? En d´eduire que la fonction

x >0, g(x) = u(x) cosx−v(x) sinx v´erifie l’´equation diff´erentielle g⁰⁰(x) +g(x) = 1/x.

d) Montrer qu’on a :

x >0, g(x) = Z +∞

x

sin(t−x)

t dt=

Z +∞

0

sint t+xdt.

1

2

3)On sait que la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle y⁰⁰+y= 0, par exemple sur ]0,+∞[, s’´ecrit y(x) =acosx+bsinx avec a, b∈C . a) Que peut-on dire des coefficients a, bsi y(x)−−−−→

x→+∞ 0 ?

b) En d´eduire que la fonctionx7→g(x)−f(x) est nulle et donc qu’on a :

x >0,

Z ^+∞

0

sint t+xdt=

Z ^+∞

0

e^−xt 1 +t² dt.

Exercice III

1) Soit f la fonction 2π-p´eriodique sur IR, d´efinie par f(x) = x² pour tout x∈[−π, π[.

Calculer ses coefficients de Fourier n ∈IN, an= 1

π Z π

−π

f(t) cosnt dt, bn = 1 π

Z π

−π

f(t) sinnt dt.

2)a) Montrer que le th´eor`eme de Dirichlet implique que f est la somme de sa s´erie de Fourier, autrement dit qu’on a :

x∈IR, f(x) = a0

2 + X+∞

n=1

(ancosnx+bnsinnx).

b) V´erifier vos calculs en montrant que x=π donneP+∞

n=11/n² =π²/6.

3) D´eduire de l’identit´e pr´ec´edente qu’on a : x∈[−π, π], 1

3x³ = π² 3 x+ 4

X+∞

n=1

(−1)ⁿ

n³ sinnx.

(On justifiera soigneusement une int´egration terme `a terme.) 4) a) D´eduire de l’identit´e pr´ec´edente qu’on a :

x∈[−π, π], 1

12x⁴ = π² 6 x²+ 4

X+∞

n=1

(−1)ⁿ

n⁴ (1−cosnx).

b) Utiliser cette identit´e pour calculer la valeur deP+∞

p=01/(2p+ 1)⁴, puis la valeur de P+∞

n=11/n⁴.