Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 6 LM 260 Examen de Math´ematiques du 18 Juin 2013

Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 6 LM 260 Examen de Math´ematiques du 18 Juin 2013

Dur´ee 3 heures ; sans document ni calculatrice.

Exercice 1 On consid`ere la s´erie de fonctions P+∞

n=1un, de terme g´en´eral x∈R⁺, un(x) = 1

√n x x+n. 1) Montrer qu’elle converge simplement sur R⁺.

2) ´Etudier la convergence normale surR⁺ de cette s´erie.

3) Montrer que la somme s : R⁺ → R de cette s´erie est continue et croissante.

4) V´erifier que pour tout entier N ≥1, on a l’in´egalit´e s(N)≥ 1

2 XN

n=1

√1 n.

En d´eduire la limite de s(x) quand x tend vers +∞.

Exercice 2 Soit

f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ

une fonction d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0, solution de l’´equation diff´erentielle avec conditions initiales

(1 +x²)f⁰⁰(x) = 2f(x), f(0) = 0, f⁰(0) = 1.

1) ´Etablir pour tout entiern une relation entre les coefficientsan etan+2. 2) En d´eduire que an est nul si n est pair et que, pour tout n≥0,

a₂n+1 = (−1)ⁿ⁺¹ (2n−1)(2n+ 1).

1

2

3) Quel est le rayon de convergence r de la s´erie enti`ere qui d´efinit f? 4) ´Ecrire le d´eveloppement en s´erie enti`ere de la fonctiong :]−r, r[→R d´efinie par g(0) = 0 et si x6= 0, par

g(x) = f⁰(x)−1

x .

5) En d´eduire des formules explicites pour la fonction g puis pour la fonction f, en termes de fonctions ´el´ementaires.

Exercice 3 1) Montrer que l’int´egrale g´en´eralis´ee

f(x) = Z +∞

0

exp(−t+ixt²)dt

est absolument convergente pour tout x ∈ R et d´efinit une fonction f continue sur R.

2) Pour tout entier n ≥0, calculer l’int´egrale R+∞

0 e^−ttⁿdt.

3) Montrer que la fonction f est de classe C^∞ sur R et qu’on obtient sa d´eriv´ee n-i`eme f⁽ⁿ⁾(x) en “d´erivant n fois sous le signe somme ”.

4) En d´eduire qu’on a

f⁽ⁿ⁾(0) =iⁿ Z +∞

0

e^−tt²ⁿdt.

5) Montrer que la fonction f n’est pas d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0.