Universit´e Pierre et Marie Curie M1 Math´ematiques fondamentales, 2014-2015

Universit´ e Pierre et Marie Curie

M1 Math´ ematiques fondamentales, 2014-2015

Devoir de g´ eom´ etrie diff´ erentielle (H. Eynard-Bontemps, A. Oancea)

Distribu´ e le 17/10. ` A rendre au plus tard le 24/10 lors du cours.

Le devoir doit ˆ etre r´ edig´ e individuellement. Le soin apport´ e ` a la r´ edaction sera appr´ eci´ e. Par contre, nous encourageons les discussions collectives autour du sujet.

Exercice 1. Soit M une vari´ et´ e de dimension n. Montrer que tout point admet une carte model´ ee sur :

(i) R

; (ii) B

p 1 q ;

(iii) B

p q , avec ą 0 quelconque ; (iv) un ouvert V Ă R

quelconque.

Exercice 2. Montrer que R P

priv´ e d’un point est diff´ eomorphe au ruban de Mœbius R (cf. feuille de TD 3). On pourra commencer par re- marquer que R P

priv´ e d’un point est diff´ eomorphe p S

ztN, Suq{t˘idu, o` u N et S d´ esignent les pˆ oles Nord et Sud de la sph` ere.

Exercice 3. Soit

H :“ tpx, y, zq : x

` y

“ 1 ` z

u Ă R

un hyperbolo¨ıde ` a une nappe.

(i) Montrer que H est une sous-vari´ et´ e lisse de R

de dimension 2.

D´ eterminer l’espace tangent ` a H en tout point de H.

(ii) Montrer que H peut ˆ etre recouvert par une famille lisse ` a un param` etre de droites disjointes dans R

, et qu’il existe deux familles de droites ayant cette propri´ et´ e. Faire un dessin.

(iii) ´ Ecrire pour chacune de ces familles un champ de vecteurs lisse sur H dont les courbes int´ egrales sont les droites de la famille.

(iv) Calculer le crochet des deux champs de vecteurs que vous aurez construits de cette mani` ere.

Exercice 4. Soit ∆ une droite de pente irrationnelle dans R

. Mon- trer que la restriction ` a ∆ de la projection canonique R

Ñ R

{ Z

d´ efinit une immersion injective de ∆ dans le tore T

dont l’image est dense dans T

. En d´ eduire que cette image n’est pas une sous-vari´ et´ e de T

(on pourra montrer qu’une sous-vari´ et´ e M d’une vari´ et´ e N est n´ ecessairement un ferm´ e de N ).

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