Universit´e Pierre et Marie Curie LM236, Ann´ee 2008.

Universit´e Pierre et Marie Curie LM236, Ann´ee 2008.

Examen LM236 5 juin 2008 Corrig´e.

Exercice 1 On consid`ere le champ de vecteurs V= (y+_x¹, x+ ¹_y) d´efini sur D={ (x, y) | 0< x, 0< y }.

1. Montrer que V est un champ gradient et trouver f :D→Rtelle que gradf =V.

Dest simplement connexe et on v´erifie que ^∂(y+1/x)_∂y = 1 = ^∂(x+1/y)_∂x . On peut conclure que V est gradient. Aussi, si f existe, nous avons ^∂f_∂x = y+ 1/x et ^∂f_∂y = x+ 1/y. De la premi`ere

´equation on obtient f(x, y) =yx+ln(x) +c(y), o`uc(y) est une fonction dey. Par la seconde

´equation alors ^∂f_∂y =x+c^′(y) =x+ 1/y. D’o`u c(y) =ln(y) +c, c une constante. On conclut que f(x, y) =yx+ln(x) +ln(y) +c.

2. Calculer l’int´egrale curviligne R

ΓV·dr le long du segmentΓ entre(1,1) et (1,2).

L’int´egrale est donn´ee parR

ΓV·dr=f(1,2)−f(1,1) = 2+ln(1)+ln(2)−1−ln(1)−ln(1) = 1+ln(2) 3. Calculer l’int´egrale curviligne R

γV·drle long du cercle γ centr´e en (1,1) de rayon ¹₂ dans le sens direct (contraire aux aiguilles d’une montre).

Pour un champ gradient, l’int´egrale curviligne le long d’une courbe ferm´ee est0.

Exercice 2 Calculer l’int´egrale curviligne R

ΓV·dr o`u, en coordonn´ees polaires, V(r, θ) = (−rsinθ, rcosθ)

et Γ est le cercle de rayon 2 parcouru dans le sens direct. Le champV est-il gradient?

Une param´etrisation de Γ est, pourθ∈[0,2π], θ→(2 cosθ,2 sinθ). On calcule Z

Γ

V·dr= Z _2π

0

((−2 sinθ)(−2 sinθ) + (2 cosθ)(2 cosθ))dθ

= Z _2π

0

4dθ= 8π.

Le champ n’est pas gradient sinon l’int´egrale sur une courbe ferm´ee serait nulle.

Exercice 3 Tracer le domaine

D={ (x, y) |1≤x, 2≤y, x+y≤5 }. Calculer ensuite l’int´egrale

Z Z

D

1

(x+y)⁴dxdy.

1

1 2

5 x

y

Figure 1: Dest la r´egion d´elimit´e par les trois droites Le domaine est trac´e dans la figure 1. Par le th´eor`eme de Fubini:

Z Z

D

1

(x+y)⁴dxdy = Z ₃

1

Z ₅−x 2

1 (x+y)⁴dy

dx=

Z ₃

1

−1 3(x+y)³

5−x 2

dx

= 1 3

Z 3 1

−1

5³ + 1 (x+ 2)³

dx=− 2 3(5)³ +1

3

−1 2(x+ 2)²

3 1

=− 2

3(5)³ − 1

6(5)² + 1

6(3)² = 22 15³. Exercice 4 On consid`ere les ensembles:

D=

(x, y) |4≤x²+y² , H ={ (x, y) |0≤y } et, en coordonn´ees polaires,

E ={ (r, θ) | r≤3 + 2 sinθ 0≤θ≤2π }. 1. Dessiner les r´egions.

2. Calculer l’aire de la r´egion D∩E∩H.

3. Calculer l’aire de la r´egion D∩E.

1. Voir la figure 2 pour le dessin des r´egions.

2

–2 –1 0 1 2 3 4 5

–3 –2 –1 1 2 3

Figure 2: La courbe r= 3 + 2 sinθ et le cercle r= 2.

2. Observer que 3 + 2 sinθ≥2 pourθ∈[0, π]. Alors, en coordonn´ees polaires, l’aire est donn´ee par

Z Z

D∩E∩H

= Z π

0

Z 3+2 sinθ 2

rdrdθ= Z π

0

r² 2

3+2 sinθ 2

dθ= Z π

0

5

2+ 6 sinθ+ 2 sin²θdθ

= Z _π

0

7

2+ 6 sinθ−cos 2θdθ = 7π

2 −[6 cosθ]^π₀ −[1

2sin 2θ]^π₀ = 7π 2 + 12.

3. Pour D∩E il faut calculer les points d’intersection entre la courbe r = 2 et r = 3 + 2 sinθ.

On fait 3 + 2 sinθ= 2 et on obtient sinθ=−1/2 dont les solutions sontθ₁ = 7π/6 (=−π/6) etθ₂= 11π/6. Comme avant, on obtient

Z Z

D∩E

= Z _7π/6

−π/6

Z _{3+2 sinθ}

2

rdrdθ ==

Z _7π/6

−π/6

7

2 + 6 sinθ−cos 2θdθ= 11√ 3 2 +14π

3 . Exercice 5 On consid`ere le carr´e d´efini par

K ={ (x, y) |0≤x≤1, 0≤y≤1 }.

Soit Γ le bord de K orient´e dans les sens direct. On pose V = (y,−x). Calculer l’int´egrale curviligne R

ΓV·dr.

Observer par la formule de Green que R

ΓV·dr=R R

K

∂(−x)

∂x −^∂(y)_∂y

dxdy =R R

K(−2)dxdy.

Ceci est l’aire du carr´e fois 2. Donc R

ΓV·dr=−2.

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