Universit´e Pierre et Marie Curie LM - 390
Ann´ee 2006-2007 Probabilit´es
Examen du 4 juin 2007
I.Les variables al´eatoiresXetY sur un espace (Ω,F, P) `a valeurs dans IR sont ind´ependantes, X a pour densit´e fX(x) = x3e−x2/61{x>0}, Y a pour densit´e fY(y) = 1
π
√
1−y21]−1,1[(y) par rapport `a la mesure de Lebesgue.
(a) On pose U =XY,V =X√
1−Y2. Quelle est la densit´e du couple (U, V) ? (b) Les variables al´eatoiresU etV sont-elles ind´ependantes ?
(c) Donner les densit´es de la variable U et de la variable V.
II.Soitα >0. On consid`ere une suite de variables al´eatoires ind´ependantesX1, . . . , Xn, . . .
`
a valeurs dans IR de mˆeme loi de densit´e suivantef(x) = (α+ 1)xα1[0,1](x) par rapport `a la mesure de Lebesgue. On pose In= min(X1, . . . , Xn).
(a) ´Etudier la convergence en loi de In (Suggestion : pensez `a utiliser les fonctions de r´epartition. On distinguera les cas 0≤λ <1/(1 +α),λ= 1/(1 +α), λ >1/(1 +α).)
(b) ´Etudier, en fonction deλ∈IR+, la convergence en loi de la suite nλIn. (c) ´Etudier la convergence presque sˆure et dans L2 de In.
III.Les r´esultats des questions(a)et(d)ne servent pas `a la r´esolution des autres questions (a) Montrer que la fonction cos(t) est la fonction caract´eristique d’une variable al´eatoire X dont on donnera la loi. (On rappelle l’´egalit´e cos(t) = eit+e2−it)
(b) Soient X1, . . . , Xn des v.a. ind´ependantes de mˆeme loi queX. Quelle est la fonction caract´eristiqueφSn(t) de Sn=X1+· · ·+Xn ?
(c) SoitN une variable al´eatoire ind´ependante deX1, X2, . . . ,`a valeurs dans IN et P(N =n) =cn, avec P∞n=1cn= 1.
Choisir entre les trois formules 1-2-3 ci-dessous, celle qui d´efinit la fonction caract´eristique φSN(t) de la variable al´eatoire SN(ω)(ω), et d´emontrer la formule choisie.
1. φSN(t) =
∞
X
n=1
c−1n φSn(t), 2. φSN(t) =
∞
Y
n=1
cnφSn(t), 3. φSN(t) =
∞
X
n=1
cnφSn(t).
D´esormais, on fixec1, c2, . . . tels queP∞n=1cnxn= 1−(1−x)1/2 pour tout |x|<1.
(d) Donner la loi de la variable al´eatoireN dans ce cas.
(e) Donner la fonction caract´eristique φSN(t) dans ce cas en utilisant le r´esultat du point (c).
1
(f) SoientW1, W2, . . . des v.a. ind´ependantes de mˆeme loi que SN. Soit Zn=
√
2(W1+· · ·+Wn)
n .
Existe-t-il a∈IR tel que la suite Zn converge vers ap.s. ?
(g) Calculer la limite en loi de Zn en utilisant les fonctions caract´eristiques. (Rappel : (t2)1/2 =|t|, cost= 1−t2/2(1 +o(t)),t→0.)
IV.Soient X1, . . . , Xndes v.a. ind´ependantes de mˆeme loi, P(X1= 1) = 1/3, P(X1 = 0) = 2/3 Soit Sn=X1+· · ·+Xn.
(a) Calculer la limite p.s. de la suite Vn= (Sn/n)S 100−1/3100
n/n−1/3 . (b) Calculer la limite en loi de Wn=√
n((Sn/n)−1/3) et donner limn→∞P(√
n(Sn/n− 1/3)≤10) sous forme d’une int´egrale.
(c) En utilisant (a) et (b) calculer la limite en loi de la suite de v.a. √
n[(Sn/n)100−1/3100].
Donner l’esp´erance et la variance de la loi limite.
V. Soit (X, Y, Z) un vecteur gaussien d’esp´erance (1,0,1) et de matrice de covariance
B =
1 −1 0
−1 6 2
0 2 1
.
(a) Donner la loi du vecteur U~ = (X+Y, X+Z).
(b) Trouver une matriceAtelle que les composantes du vecteurA ~U soient ind´ependantes.
VI. On consid`ere une suite de variables al´eatoires ind´ependantesX1, . . . , Xn, . . . sur un espace (Ω,F, P): Xn suit la loi exponentielle de param`etre λn =n2. (Rappel : la densit´e de la loi exponentielle de param`etreλ vaut λe−λx1{x>0}. )
(a) La s´erie P∞n=1Xn(ω), converge-t-elle dans L2 ? Converge-t-elle p.s. ? (b) On pose
Yn(ω) =Xn(ω)1{Xn(ω)<1/n}+e2n1{Xn(ω)≥1/n}. Que vaut P(ω:Yn(ω)6=Xn(ω)) ?
Que vaut limN→∞P(Tn≥N{ω :Xn(ω) =Yn(ω)}) ?
(c) La s´erie P∞n=1Yn(ω), converge-t-elle p.s. ? Converge-t-elle dans L2 ?
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