1) a) Donner la d´efinition de la fonction caract´eristique d’ une v

UPMC 2009/2010 Licence L3

LM 390 2nde session

Examen du 24 Juin 2010 Dur´ee 3h

Sans documents ni calculatrice ni portable

Notations : Dans tout l’ ´enonc´e on ´ecrit v.a. pour variable al´eatoire. N est l’ensemble des entiers naturels, Rcelui des r´eels.

Question de Cours.

1) a) Donner la d´efinition de la fonction caract´eristique d’ une v. a.

b) Enoncer un crit`ere de convergence en loi d’ une suite de v.a. utilisant les fonctions caract´eristiques.

2) Enoncer le Th´eor`eme Central Limite.

Exercice 1. On consid`ere le vecteur gaussien X = (X₁, X₂, X₃) centr´e et de matrice de covariance la matrice identit´e. On d´efinit les v.a. r´eelles U = 2X₁−X₂−X₃, V =X₁+X₂+X₃ etW = 3X₁+X₂−4X₃.

1) D´eterminer les lois des v.a. U, V, W.

2) Les v.a.U etV sont-elles ind´ependantes ? R´epondre `a cette question avec U etW puis avec V etW.

3) D´eterminer la loi de la v.a. X₁².

4) Montrer qu’ il existe un r´eel a et une v.a. Z ind´ependante de U tels que W =aU +Z.

Exercice 2. On suppose que le vecteur (X, Y) est gaussien dans R². Pour b r´eel, on d´efinit la v. a. Z = X+bY. On suppose que E(X) = E(Y) = 0, V ar(X) =V ar(Y) = 1 et cov(X, Y) =c.

1) a) D´eterminer la loi de Z.

b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante surb pour que les v.a. Y et Z soient ind´ependantes. Justifier avec soin.

On suppose d´esormais que la condition de la question 1) b) est satisfaite : dans la suite les v.a. Y etZ sont donc ind´ependantes.

2) Calculer E(Y²Z²) et E(ZY³).

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3) Calculer E(X²Y²). Indication : on pourra utiliser E(Y⁴) = 3.

4) Etant donn´e une suite ((X_n, Y_n))n∈N de v.a. ind´ependantes de mˆeme loi que (X, Y), on d´efinit, pour tout n≥1 la v.a. Mn= ¹_nΣⁿ_i=1XiYi.

a) Montrer que la suite (M_n) converge lorsque n → +∞. Pr´eciser la nature de la convergence et la valeur de la limite.

b) Montrer que √

n(Mn−c) converge lorsque n → +∞. Pr´eciser la nature de la convergence et la limite.

Exercice 3. On suppose que les v.a. (U_n)n≥1 sont ind´ependantes et ont la mˆeme loi N(m, σ²), o`u σ > 0. On fixe a >0 et on lui associe la suite (X_n) d´efinie par X₀ = 0 et X_n+1 =aX_n+U_n+1 pour tout entiern.

1) D´eterminer la loi de la v.a. X_n pour tout entier n. Pr´eciser E(X_n) et Var(X_n).

2) On consid`ere une suite de v.a. gaussiennes r´eelles (Y_n). Montrer que lorsque les suites (E(Y_n))n∈N et (Var(Y_n))n∈N admettent des limites r´eelles quand n → ∞, la suite de v. a. (Y_n) converge en loi vers une limite que l’ on pr´ecisera.

3) On suppose dans cette question que a < 1. Montrer que la suite (X_n) converge en loi quand n→ ∞. Pr´eciser sa limite.

4) Dans cette question a >1. Montrer que la suite (_a^Xn−1ⁿ )n∈N converge en loi n → ∞. Pr´eciser sa limite.

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