Universit´e de Cergy-Pontoise Dur´ee 4 heures
Math´ematiques L2 Mr Hebey
Alg`ebre Bilin´eaire et Int´egration - Janvier 2016
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es. Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif. Toute note sup´erieure `a 20 sera ramen´ee `a 20.
Questions de cours: (1) (0,5pt) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et soitϕ ∈End(E) un endomorphisme de E. On suppose que toutes les valeurs propres de ϕ sont r´eelles. On note λ1, . . . , λk ces valeurs propres et E1, . . . , Ek les espaces propres correspondants. Sous quelle condition n´ecessaire et suffisante portant sur lesEi l’endomorphismeϕest-il diagonalisable ?
(2)(0,5pt) Enoncer le th´eor`eme du rang.
(3)(0,5pt) Enoncer le th´eor`eme de Sylvester.
(4)(0,5pt) Enoncer le th´eor`eme de diagonalisation des endomorphismes sym´etriques.
Exercice 1: SoitE unR-espace vectoriel de dimension 3, etB = (e1, e2, e3) une base deE. On notef, g∈End(E) les endomorphismes deEd´efinis par
f x1e1+x2e2+x3e3
= x1+ 4x2−x3
e1+ 4x1+ 3x3
e2+ −x1+ 3x2−x3 e3
g x1e1+x2e2+x3e3
= 3x1−x3
e1+ 2x1+ 4x2+ 2x3
e2+ −x1+ 3x3 e3
pour tous x1, x2, x3 ∈ R. On veut montrer dans cet exercice que f et g sont diagonalisables. On ne demande pas de les diagonaliser.
(1) (1pt) Ecrire la matrice de repr´esentationMBB(f) de f dans B. Peut-on d´ej`a affirmer quef est diagonalisable ? Pourquoi ?
On se propose maintenant de montrer queg est elle aussi diagonalisable.
(2) (1,5pts) Ecrire la matrice de repr´esentation MBB(g) de g dans B, calculer le polynˆome caract´eristique deg, et d´eterminer les valeurs propres deg.
(3) (1,5pts) D´eterminer les sous-espaces propres de g par le calcul de bases pour ces espaces propres. Montrer quegest diagonalisable.
Exercice 2: SoitE unR-espace vectoriel de dimension 3, etB = (e1, e2, e3) une base deE. On noteB la forme bilin´eaire surE d´efinie par
B(x, y) =x1y1+ 3x3y3+ (x1y2+x2y1) + 2(x1y3+x3y1) + (x2y3+x3y2) pour tousx=P3
i=1xiei ety =P3 i=1yiei.
(1)(0,5pt) Ecrire la matriceMB(B) deB dansB.
(2)(0,5pt) Montrer que les vecteurs ˜e1=e1, ˜e2=−e1+e2, et ˜e3=−e1−e2+e3 forment une base ˜BdeE. Ecrire la matrice de passage de la baseB`a la base ˜B.
(3)(1pt) Calculer la matriceMB˜(B) deB dans ˜B.
(4)(1pt) SiQest la forme quadratique associ´ee `a B, donner les expressions deQ dans les basesBet ˜B. Que vaut la signature deQ?
1
2
Exercice 3: Etudier la convergence des int´egrales g´en´eralis´ees suivantes:
(0,5pt)I1= Z +∞
0
x2+ 2
x5+ 1dx , (0,5pt)I2= Z +∞
0
2x+ 3 x2+ 5dx , (1pt)I3=
Z π/2
0
cos(x) sin(x)
x2 dx , (1pt)I4= Z +∞
0
2x+ 3
√x(3x2+ 1)dx . Justifier vos r´eponses. On pr´ecisera notamment en quelles bornes ces int´egrales sont g´en´eralis´ees.
Exercice 4: On consid`ere, pour toutxr´eel, l’int´egrale F(x) =
Z π/2
0
sin(xcost)dt . (1)(1pt) Montrer que la fonctionF est continue surR. (2)(1pt) Montrer queF est d´erivable sur Ret calculerF0(0).
Exercice 5: (3pts) Calculer les int´egrales multiples I=
Z Z
D1
cos(x+y)dxdy etJ = Z Z
D2
1 +x2y3 dxdy o`u D1 ⊂ R2 est donn´e par D1 = n
(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x≤ π et 0 ≤ y ≤ π2o , et D2⊂R2est donn´e parD2=n
(x, y)∈R2 /0≤y≤x≤1o .
Exercice 6: SoitEunR-espace vectoriel de dimension 2, etB= (e1, e2) une base deE. On noteB la forme bilin´eaire surE d´efinie par
B(x, y) = 2x1y1+ 3x2y2−2(x1y2+x2y1) pour tousx=P2
i=1xiei ety =P2 i=1yiei.
(1)(1pt) Montrer queB est un produit scalaire surE.
(2)(2pts) Trouver une base orthonorm´ee pourB.
Exercice 7: (3pts) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n et (e1, . . . , ek) une famille libre de E. On suppose que (e1, . . . , ek) n’est pas g´en´eratrice pourE.
Montrer qu’il existe alors un vecteurek+1∈Epour lequel la famille `ak+1 ´el´ements (e1, . . . , ek, ek+1) est encore libre. Quel th´eor`eme d´emontre-t-on facilement avec ce r´esultat ?
