1. Consid´ erons l’action de G = GL n ( C ) par conjugaison sur M n ( C ) et notons Φ = (a 0 , . . . , a n−1 ) : M n ( C ) → C n l’application polynˆ ome caract´ eristique d´ efinie par

TH´ EORIE G´ EOM´ ETRIQUE DES INVARIANTS

Exercice 1:

Soit n un entier strictement positif et M _n ( C ) l’espace des matrices carr´ ees com- plexes de taille n. Il s’agit d’une vari´ et´ e affine dont l’alg` ebre des fonctions est not´ ee A = C [X _ij , i, j ∈ {1, . . . , n}]. On notera M ∈ M _n (A) la matrice g´ en´ erique d´ efinie par M = (X _ij ) i,j∈{1,...,n} .

1. Consid´ erons l’action de G = GL _n ( C ) par conjugaison sur M _n ( C ) et notons Φ = (a ₀ , . . . , a n−1 ) : M _n ( C ) → C ⁿ l’application polynˆ ome caract´ eristique d´ efinie par

det(T Id −M ) =

n−1

X

k=0

a _k (M )T ^k + T ⁿ .

Justifier bri` evement pourquoi Φ induit un isomorphisme M _n ( C )//GL _n ( C ) → C ⁿ . 2. Notons M ⁿ = (u ij ) et posons I = (u ij , i, j ∈ {1, . . . , n}) ⊂ A. Identifier le ferm´ e N ⊂ M _n ( C ) d´ efini par l’id´ eal I.

3. Montrer qu’il existe un entier k tel que tr(M ) ^k ∈ I et qu’on a n´ ecessairement k ≥ n. En d´ eduire que I n’est pas radical.

4. Justifier que l’application Ψ : C ⁿ → C ⁿ d´ efinie par (λ ₁ , . . . , λ _n ) 7→ (a ₀ , . . . , a n−1 ) o` u

n

Y

i=1

(T − λ _i ) =

n

X

i=0

a _i T ⁱ + T ⁿ

induit un isomorphisme C ⁿ //S _n → C ⁿ o` u S _n est le groupe sym´ etrique qui agit par permutation sur C ⁿ . En d´ eduire les ´ egalit´ es

C [λ ₁ , . . . , λ _n ] ^S

= C [a ₀ , . . . , a n−1 ] = C [X _i,j ] ^G .

5. Posons J = (λ ⁿ ₁ , . . . , λ ⁿ _n ) ⊂ C [λ ₁ , . . . , λ _n ] et notons f : C ⁿ → M _n ( C ) l’application qui envoie (λ ₁ , . . . , λ _n ) sur la matrice diagonale avec ces mˆ emes coef- ficients. Montrer qu’on a f ^∗ (I) = J et en d´ eduire l’´ egalit´ e J ^S

= I ^G .

6. Montrer l’inclusion ( P n

i=1 λ _i ) ⁿ

∈ J et en d´ eduire l’inclusion tr(M ) ⁿ

∈ I.

1

2 TH ´ EORIE G ´ EOM ´ ETRIQUE DES INVARIANTS

Exercice 2:

Soit V un espace vectoriel de dimension 3. On appelle drapeau de V un couple (D, P ) o` u D ⊂ P sont respectivement une droite et un plan de V . On note F l’espace des drapeaux.

1. Montrer que F est une vari´ et´ e projective sur laquelle G = SL(V ) agit tran- sitivement.

2. D´ eterminer les orbites de G sur F ² . On dira qu’un couple de drapeaux est g´ en´ erique s’il appartient ` a l’unique orbite dense.

3. Soit k un entier strictement positif. On associe ` a un drapeau (D, P ) une matrice M(D, P ) dont D est l’image et P le noyau. Montrer que cela fournit un plongement G-´ equivariant Φ <sub>k</sub> o` u End ₀ (V ) d´ esigne les endomorphismes de V de trace nulle.

Φ _k : F ^k → P (End ₀ (V ) ^⊗k ).

4. Montrer que tout drapeau (D, P ) v´ erifie que M (D, P ) est instable.

5. D´ eterminer la stabilit´ e d’une paire de drapeaux (D ₁ , P ₁ ), (D ₂ , P ₂ ).

6. Soit ˆ X ₃ la pr´ eimage dans End ₀ (V ) ^⊗3 de l’image de Φ ₃ . Montrer que l’application f : ˆ X ₃ → C ² d´ efinie par f (A⊗B ⊗C) = (tr ABC, tr ACB ) induit un isomorphisme X ˆ ₃ //G ' C ² .

7. En d´ eduire qu’on ` a F ³ //G ' P ¹ et d´ eterminer la stabilit´ e d’un triplet de

drapeaux.