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(1)

Feuille d’exercices 3 du cours de M2 2012

C. Noot-Huyghe

1. Soit k un corps de caract´eristique p > 0, K = k ( t ) et X la courbe sur K d´efinie par l’´equation y

2

= x

p

− t.

1- Montrer que X est irr´eductible.

2- Calculer B = Γ ( X, O

X

) .

3- Montrer que si p 6= 2, X a un unique point ferm´e z singulier, correspondant

`a un id´eal maximal M de B. Quel est le degr´e de l’extension [ K ( z ) : K ] ? 4- Calculer la dimension du K ( z ) espace vectoriel M/M

2

.

5- Donner une ´equation de la fermeture projective Y de X dans P

2K

et Donner les points singuliers de Y.

2. Soient k un corps parfait, C une conique de P

2k

d´efinie par un polyn ˆome homog`ene de degr´e 2 : F ( x, y, z ) (notation : C = V

+

( F ) ).

1- Montrer que C est r´eduit (resp. irr´eductible) si et seulement si F n’est pas un carr´e modulo k

∗

(resp. est irr´eductible).

2- On suppose d´esormais que C contient un point rationnel (i.e. un ´el´ement de X ( k ) ).

i. Montrer que si P est un point singulier, alors C est isomorphe `a un sous- sch´ema projectif du type V

+

( G ) o `u G est un polyn ˆome homog`ene de degr´e 2 de k [ x, y ] .

ii. On suppose que C est lisse au point P. Soit D une droite de P

2k

passant par P. Montrer que D rencontre C en un autre point rationnel Q. Mon- trer que C contient un 3e point rationnel R et que C est isomorphe `a V

+

( ax

2

+ yz ) . En d´eduire que C est r´eunion de 2 droites distinctes ou que C est isomorphe `a P

1k

. Indication : on pourra consid´erer les droites tangentes `a la courbe aux points P et Q.

3- On suppose que char ( k ) 6= 2. Montrer que C ' V

+

( ax

2

+ by

2

+ cz

2

) et montrer que C est lisse si et seulement si abc 6= 0.

3. Soit X le sous-sch´ema de l’espace projectif P

2Z

(muni des coordonn´ees homog`enes [ x, y, z ] ) d´efini par le polyn ˆome homog`ene xy − nz

2

pour n un entier naturel.

D´eterminer la fibre de X au-dessus de tout nombre premier p, les composantes

irr´eductibles de cette fibre. Trouver les singularit´es de cette fibre.

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