Soient K un corps de caractéristique 6= 2 et P ∈ K[X 1 , . . . , X n ] . 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

L3 Algèbre 2 20132014 : TD 11

Polynômes symétriques, résultant

Exercice 1. (Polynômes antisymétriques)

Soient K un corps de caractéristique 6= 2 et P ∈ K[X ₁ , . . . , X _n ] . 1. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) Pour tous i < j , P change de signe lorsqu'on échange X i et X j .

(b) P ^σ = ε(σ)P , pour tout σ ∈ S _n , où ε(σ) est la signature de la permutation σ . On dit alors que le polynôme P est antisymétrique.

2. Montrer que ∆ := Q

i<j (X i − X j ) est antisymétrique.

3. Montrer que tout polynôme antisymétrique est le produit de ∆ et d'un polynôme symé- trique.

Exercice 2. (Polynômes invariants sous A _n )

Soient K un corps de caractéristique 6= 2 et P ∈ K[X ₁ , . . . , X _n ] tel que ∀σ ∈ A _n , P ^σ = P . 1. Montrer que l'application σ 7→ P ^σ ne prend que deux valeurs lorsque σ parcourt S _n . 2. Montrer qu'il existe des polynômes symétriques A et B uniquement déterminés tels que

P = A + ∆B.

3. Décrire, comme quotient d'un anneau de polynômes, le sous-anneau de K[X ₁ , . . . , X _n ] formé des polynômes invariants sous A _n .

Exercice 3. (Polynôme annulateur de α + β et αβ par résultant)

Soient K un corps et α , β deux éléments algébriques sur K , annulés respectivement par deux polynômes unitaires P et Q dans K[X] . Trouver un polynôme annulateur des éléments α + β et αβ à l'aide d'un résultant bien choisi, et donner son degré.

Exercice 4. (Intersection de deux coniques)

1. Soient K un corps et P, Q deux polynômes de K[X, Y] . On suppose P et Q unitaires en tant que polynômes en X et on pose R = Rés ^X (P, Q) ∈ K[Y] . Montrer que R(y) = 0 si et seulement s'il existe x ∈ K tel que P(x, y) = Q(x, y) = 0.

2. Déterminer l'intersection des coniques anes réelles C et C ⁰ dans les cas suivants : (a) C : x ² − xy + y ² − 1 = 0 et C ⁰ : 2x ² + y ² − y − 2 = 0 ;

(b) C : 2x ² + y ² + 3xy − 2x − y = 0 et C ⁰ : 3x ² + 2y ² + 6xy = 0 .

3. Calculer le résultant par rapport à la variable X dex polynômes XY et XY − 1 . Com- menter.

Exercice 5. (Résultant et courbes paramétrées)

Déterminer dans les cas suivants une équation polynomiale vériée par tous les points de la forme (F(t), G(t)) lorsque t parcourt R :

1. F(t) = t ² + t ² + 1 , G(t) = (t ² − 1)/(t ² + 1) ;

2. F(t) = (t + t ³ )/(1 + t ⁴ ) , G(t) = (t − t ³ )/(1 + t ⁴ ) .

Exercice 6. (Sommes de Newton)

Soit n dans N ^∗ ; pour tout entier k dans N ^∗ on dénit la k -ième somme de Newton : p k (X 1 , . . . , X n ) = X ^k ₁ + · · · + X ^k _n ∈ Z[X 1 , . . . , X n ].

Le but de l'exercice est de démontrer les formules de Newton : p _d +

d−1

X

i=1

(−1) ⁱ Σ i p d−i + (−1) ^d dΣ _d = 0.

Fixons d > 0 . Pour 2 ≤ i ≤ d , on pose

r i = X

j

<...<j

j

6∈{j

,...,j

}

X ⁱ _j

· X j

· · · X j

.

1. Écrire explicitement, dans le cas n = d = 3 , les polynômes r 2 et r 3 . 2. Écrire p d en fonction des r i .

3. Pour 2 ≤ k ≤ d − 1 , écrire p _k Σ d−k en fonction des r _i . 4. Écrire p ₁ Σ d−1 en fonction des r _i et de Σ _d .

5. En déduire les formules de Newton.

6. Soit K un corps de caractéristique nulle. Montrer que, dans K[X 1 , . . . , X n ] , tout polynôme symétrique s'écrit de manière unique comme un polynôme en les n premières sommes de Newton.

7. Calculer à l'aide des formules de Newton la somme des puissances 4 -ièmes des racines de (X − 1)(X − 2)(X − 3)(X − 4).

Exercice 7. (Le corps C est algébriquement clos)

Le but de cet exercice est de montrer que le corps C des nombres complexes est algébriquement clos. Dans la suite, soit P = P d

i=0 a _i X ⁱ ∈ C[X] un polynôme unitaire de degré d ≥ 1 . 1. Montrer que si P = P d

i=0 a i X ⁱ , alors P(X)P(X) est unitaire à coecients dans R . En déduire que si P(X)P(X) a une racine dans C , alors P admets une racine dans C . Dans la suite, soit F ∈ R[X] unitaire de degré d > 1 , avec d = 2 ^e q , e ∈ N et q impair. On va montrer par récurrence sur e que F a une racine dans C .

2. Montrer que si e = 0 , alors F a une racine dans R .

3. Supposons que e ≥ 1 et que tout polynôme G ∈ R[X] de degré d ⁰ = 2 ^e−1 q ⁰ avec q ⁰ impair a une racine dans C . Soit K/C un corps de décomposition de F , de telle sorte que F(X) = Q d

i=1 (X − α i ) avec α i ∈ K.

(a) Pour tout c ∈ R , on pose β _ij ^c = α _i +α _j +cα _ij . Montrer que G _c (X) = Q

i≤j (X−β _ij ^c ) ∈ K[X] est unitaire de degré d ⁰ = 2 ^e−1 q(d + 1) .

(b) Montrer que les coecients de G c sont des polynômes symétriques réels en les α i . En déduire que G c est à coecients dans R . En déduire que G c (X) a une racine z _c ∈ C .

(c) Pour tout c ∈ R , soient 1 ≤ i(c) ≤ j(c) ≤ d ⁰ avec z c = β ^c _i(c),j(c) . Montrer qu'il existe c 6= c ⁰ avec i(c) = i(c ⁰ ) =: i et j(c) = j(c ⁰ ) =: j. En déduire que α i + α j et α i α j

sont dans C . En déduire que F a une racine dans C .

4. Conclure.