1. Soit K un corps commutatif. Montrer que tout sous-groupe fini de K

L3 – Alg` ebre 2 2013–2014 : TD 3

Corps finis

Dans toute la feuille, p est un nombre premier et q = p

. Exercice 1. (De l’alg` ebre lin´ eaire sur les corps finis)

1. Soit K un corps commutatif. Montrer que tout sous-groupe fini de K

est cyclique.

2. Montrer que GL

(F

) contient un ´ el´ ement d’ordre p

− 1.

Exercice 2. (Sous-corps d’un corps fini)

1. Soit K un sous-corps de F

. Montrer qu’il existe d divisant n tel que K ∼ F

.

2. R´ eciproquement, ´ etant donn´ e d un diviseur de n montrer qu’il existe un unique sous- corps de F

isomorphe ` a F

.

3. Dessiner un diagramme montrant les inclusions possibles entre F

, F

, F

, F

, F

, F

, F

et F

.

Exercice 3. (Polynˆ omes irr´ eductibles sur F

)

1. Montrer que X

− X est scind´ e ` a racines simples dans F

.

2. Soit P un facteur irr´ eductible de X

− X. Montrer que le degr´ e de P divise n.

3. R´ eciproquement, soit P un polynˆ ome unitaire irr´ eductible dans F

[X] dont le degr´ e divise n. Montrer que P est un facteur simple de X

− X.

4. Pour tout d ∈ N on note I(p, d) l’ensemble des polynˆ omes unitaires irr´ eductibles dans F

[X] de degr´ e d. Montrer que dans F

[X] on a

X

− X = Y

d|n

Y

P∈I(p,d)

P

5. On note I(p, d) le cardinal de I(p, d). Montrer que p

= Σ

d|n

I(p, d). En d´ eduire que l’ensemble I(p, d) est non vide.

6. Montrer que

≤ I(n, p) ≤

En d´ eduire qu’un polynˆ ome unitaire de degr´ e n

“assez grand” choisi au hasard a au moins une chance sur n d’ˆ etre irr´ eductible.

Exercice 4. (La Clˆ oture alg´ ebrique des corps finis)

Soit p un nombre premier. Soit ¯ F

la r´ eunion de la chaˆıne croissante (cf. Exercice 2) F

⊂ F

⊂ F

⊂ · · · ⊂ F

⊂ · · ·

1. Montrer que ¯ F

est un corps, qui est une extension alg´ ebrique de F

.

2. Montrer que pour tout n ≥ 1, il existe un unique plongement F

→ F ¯

.

3. Montrer que ¯ F

est une clˆ oture alg´ ebrique de F

.

Exercice 5. (Automorphismes des corps finis)

1. Soit L/K une extension de corps. On note Aut(L/K) l’ensemble des automorphismes de L dont la restriction ` a K est l’identit´ e. Montrer que Aut(L/K) est un groupe.

2. Montrer que si l’extension L/K est finie et monog` ene, alors le groupe Aut(L/K) est fini de cardinal major´ e par le degr´ e d’extension [L : K].

3. Soient p un nombre premier et A un anneau de caract´ eristique p. Montrer que l’appli- cation

Frob

: A → A x 7→ x

est un endomorphisme de l’anneau A. On l’appelle l’endomorphisme de Frobenius de A.

4. Montrer que pour tout n ≥ 1, Frob

est un ´ el´ ement de Aut(F

/F

).

5. Montrer que le groupe Aut(F

/F

) est cyclique d’ordre n, dont Frob

est un g´ en´ erateur.

6. Soit σ ∈ Aut(F

/F

) un ´ el´ ement d’ordre k. Montrer que les points fixes de σ est un sous-corps de F

isomorphe ` a F

Exercice 6. Corps parfait Soit K un corps et P ∈ K[X].

1. Montrer que si car(K) = 0, P

= 0 si et seulement si P est constant.

2. Montrer que si K est de caract´ eristique p > 0, alors P

= 0 si et seulement s’il existe Q ∈ K[X] tel que P = Q(X

).

3. Une extension L/K est s´ eparable si c’est une extension alg´ ebrique et que le polynˆ ome minimal sur K de tout ´ el´ ement dans L admet des racines distinctes dans L. Un corps K est dit parfait si toute extension finie de K est s´ eparable.

(a) Montrer qu’un corps alg´ ebriquement clos est parfait.

(b) Montrer qu’un corps de caract´ eristique nulle est parfait.

(c) Montrer qu’un corps de caract´ eristique positive est parfait si et seulement si l’en- domorphisme de Frobenius (cf. Exercice 5) est un isomorphisme.

(d) Montrer qu’un corps fini est parfait.

Exercice 7. Extension sans ´ el´ ement primitif

1. Soit K un corps de caract´ eristique p > 0. Expliquer pourquoi P(X) = X

+ T est irr´ eductible sur K(T). Montrer qu’un corps de rupture de P en est aussi un corps de d´ ecomposition.

2. Soit K = Frac(F

[T, U]) et L un corps de d´ ecomposition de P(X) = (X

− T)(X

− U).

(a) Montrer que [L : K] = p

.

(b) Montrer que si x ∈ L, alors x

∈ K.

(c) En d´ eduire que L/K n’admet pas d’´ el´ ement primitif.