1) Montrer que k k est une norme deMn,n(K)

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Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence

Mathématiques Année 2010–2011

FEUILLE D’EXERCICES n^o3 Normes de M_n,n(K)

Exercice 1 – L’application ρ est-elle une norme de M_n,n(K)?

Exercice 2 – On considère ici l’application de M_n,n(K) dans R définie par

kAk=X

i,j

|a_i,j|.

1) Montrer que k k est une norme deM_n,n(K).

2) Montrer que si N est une norme de M_n,n(K) induite par une norme de Kⁿ, on a N(Id_n) = 1.

3) Qu’en déduire concernant k k?

4) La norme k k est-elle une norme matricielle ?

Exercice 3 – On considère ici l’application de M_n,n(K) dans R définie par kAk_s=

q

Tr(A^tA).

1) Montrer que

kAk_s= sX

i,j

|a_i,j|².

2)Montrer quek ks est une norme deMn,n(K). Elle est appeléenorme de Schur.

3) Montrer que k k_s n’est pas une norme induite par une norme de Kⁿ. 4) Montrer que k k_s est une norme matricielle.

Exercice 4 – Donner des exemples de normes de Mn,n(K) qui ne sont pas ma- tricielles.

Exercice 5 – On se propose ici de démontrer le théorème vu en cours et qui s’énonce : pour toute A∈M_n,n(K) on a

kAk₂ = q

ρ(A^tA).

Soit doncA∈M_n,n(K). Dans les questionsi) (16i63) on suppose queK =R. 1) Montrer qu’il existe Q orthogonale et D diagonale à éléments diagonaux po- sitifs ou nuls tels que A^tA=Q^tDQ.

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2) En utilisant le fait que kxk²₂ =x^tx, montrer que sup

kxk2=1

kAxk²₂ = sup

kzk2=1

z^tDz 6ρ(D).

3) Montrer qu’en fait

sup

kzk₂=1

z^tDz =ρ(D)

et en déduire le théorème (pour le cas K =R).

4) Transposer au cas K =C.

Exercice 6– Une norme N deMn,n(K)est dite compatible avec une norme k k de Kⁿ si pour tout x∈Kⁿ on a

kAxk6N(A)kxk.

Ainsi toute norme surM_n,n(K)induite par une norme deKⁿ est compatible avec cette dernière.

1) Montrer que la norme de Schur est compatible avec k k₂.

2)Montrer qu’à toute norme matricielle, on peut associer une norme deKⁿ avec laquelle elle est compatible.

3) Montrer que pour toute norme matricielle N deMn,n(K) et toute matrice A on a

ρ(A)6N(A).

4) Retrouver ainsi un résultat du cours et montrer que pour toute matrice A ∈ M_n,n(K) on a

ρ(A)6 q

ρ(A^tA) et

ρ(A)6 s

X

i,j

|a_i,j|².

5)Donner un exemple de normek kdeM_n,n(K)pour laquelle il existeAvérifiant ρ(A)>kAk.