MASTER 1 - M´etiers de L’Enseignement en Math´ematiques La Mi-Voix - ULCO ANALYSE 2 Novembre 2012 - Contrˆole Continu, Semestre 1 Dur´ee de l’´epreuve : 3h00 Documents interdits. Calculatrice autoris´ee.
(Les deux exercices sont ind´ependants. Un soin tout particulier sera apport´e `a la r´edaction des r´eponses)
Exercice 1
1. On consid`ere la suite (Hn)n≥1 d´efinie par : Hn=
n
X
k=1
1 k (a) Montrer que pour tout entierk≥1 :
1 k+ 1≤
Z k+1
k
1 tdt≤ 1
k. (b) En d´eduire que pour toutn≥1 :
ln(n+ 1)≤Hn≤1 + ln(n) puis que
Hn ∼
+∞ln(n).
2. On consid`ere la suite (Kn)n≥1 d´efinie par : Kn=
n
X
k=1
1 k2.
Montrer que la suite (Kn)n≥1 converge. On notera K la limite de cette suite (on ne demande pas de calculer K).
3. On pose pour tout entier naturel non nulnnon nul an=
√n 4n
2n n
. On admet la formule de Stirling :
n! ∼
+∞
n e
n√ 2πn.
Montrer que la suite (an)n∈N? converge vers 1
√π. 4. Montrer que, pour tout entier nnon nul, on a :
an+1
an −1 = (√
n+ 1−√ n)2 2√
n√
n+ 1 .
5. En d´eduire que la suite (an)n∈N? est croissante et que pour tout entiern≥1 : an≤ 1
√π.
6. (a) Montrer que pour tous r´eelsaetbon a : (a+b)2 ≥4ab.
(b) En d´eduire que, pour tout entier natureln non nul, (√
n+ 1−√
n)2 ≤ 1 4p
n(n+ 1). 7. (a) Montrer que pour tout entiern≥1 :
0≤an+1−an≤ 1 8n(n+ 1)√
π.
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(b) Montrer que pour tout entierk≥1 et tout entierp≥k : 0≤ap−ak ≤ 1
8k√ π. (c) En d´eduire que, pour tout entierknon nul :
0≤ 1
√π −ak≤ 1 8k√
π. Exercice 2 Les nombres de Bernoulli.
On d´esigne par f la fonction d´efinie sur Rpar
( f(x) = x
ex−1 six6= 0 f(0) = 1
. C est la courbe d’´equationy =f(x) dans un repr`ere orthonormal (0,~i,~j).
1. (a) D´emontrer quef est continue et d´erivable sur R. (b) Donner le tableau de variations def.
(c) ´Etudier les branches infinies de (C) et pr´eciser les ´equations des asymptotes quand elles existent.
(d) Tracer la courbe dans le rep`ere (0,~i,~j) o`u l’unit´e est ´egale `a 2cm.
2. (a) D´emontrer que f admet un d´eveloppement limit´e d’ordre n, pour toutn∈N, au voisinage de 0.
(b) Trouver ce d´eveloppement limit´e pourn= 4.
3. (a) D´emontrer que la fonction 1
f est d´eveloppable en s´erie enti`ere surRet donner ce d´eveloppement.
(b) En d´eduire que fest de classe C∞ sur R, c’est-`a-dire qu’elle admet une d´eriv´een-i`eme sur R quel que soit l’entier naturel n.
(c) Calculerf(k)(0) pour 0≤k≤4.
On appelle nombres de Bernoulli, les nombresBk=f(k)(0) o`uk est un entier naturel.
4. (a) D´emontrer que les nombresBk sont des nombres rationnels.
(b) D´emontrer que, pour p∈N?,B2p+1= 0.
5. (a) En remarquant que (ex−1)f(x) =xet en d´erivant (n+ 1) fois membre `a membre cette ´egalit´e, d´emontrer queBn v´erifie
B0 = 1 Bn = −1
n+ 1
n−1
X
k=0
Cn+1k Bk . (b) En utilisant ce r´esultat, calculerB6.
6. (a) En posantz= 1
y, r´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E) :xy0+ (x−1)y+y2 = 0.
(b) V´erifier en particulier que f est solution de (E).
7. (a) Soitgla fonction d´efinie parg(x) =xf0(x) + (x−1)f(x) +f2(x). En calculantg(n)(0), trouver une autre relation de r´ecurrence liant les nombresBn.
(b) Montrer que les nombresbn= B2n
(2n)! v´erifient
b0 = 1 b1 = 1
.. 12 .
bn = −1 2n+ 1
n−1
X
k=1
bkbn−k pour n≥2 .
(c) En d´eduire la valeur du nombre de Bernoulli B8. On r´esumera les r´esultats trouv´es dans un tableau de la forme :
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bn
8. En utilisant la question 7.(b), d´emontrer queB2n est du signe de (−1)n−1 pour n∈N?.
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