Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a;b)∈R2 et n∈N. On a (a+b)n =
n
X
k=0
n k
akbn−k . Démonstration :
1. initialisation : Pourn= 0, on a : (a+b)0= 1 et
0
X
k=0
0 k
akbn−k = 0
0
a0b0−0= 1. 2. hérédité :
On suppose que pour un rangn∈Nquelconque, la formule est vraie.
Montrons qu'alors elle est également vraie au rangn+ 1, ie que : (a+b)n+1=
n+1
X
k=0
n+ 1 k
akbn+1−k. On a :
(a+b)n+1 = (a+b)(a+b)n
= (a+b)
n
X
k=0
n k
akbn−k (par hypothèse de récurrence)
=a
n
X
k=0
n k
akbn−k
+b
n
X
k=0
n k
akbn−k
=
n
X
k=0
n k
a×akbn−k
+
n
X
k=0
n k
ak×b×bn−k
=
n
X
k=0
n k
ak+1bn−k
+
n
X
k=0
n k
akbn+1−k
On pose ensuitej=k+ 1dans la première somme, pour obtenir : (a+b)n+1 =
n+1
X
j=1
n j−1
ajbn−(j−1)
+
n
X
k=0
n k
akbn+1−k
=
n+1
X
j=1
n j−1
ajbn+1−j
+
n
X
k=0
n k
akbn+1−k
=
n+1
X
k=1
n k−1
akbn+1−k
+
n
X
k=0
n k
akbn+1−k
(retour à l'indicek)
=
n
X
k=1
n k−1
akbn+1−k
+ n
n+ 1−1
an+1bn+1−(n+1)
+
n
X
k=1
n k
akbn+1−k
+ n
0
a0bn+1−0 (on fait en sorte que les indices soient les mêmes)
=
n
X
k=1
n k−1
akbn+1−k
+an+1+bn+1+
n
X
k=1
n k
akbn+1−k
=bn+1+
n
X
k=1
n k−1
akbn+1−k
+
n
X
k=1
n k
akbn+1−k
+an+1
=bn+1+
n
X
k=1
n k−1
+
n k
akbn+1−k
+an+1
=bn+1+
n
X
k=1
n+ 1 k
akbn+1−k
+an+1 (triangle de Pascal)
= n+ 1
0
a0bn+1+
n
X
k=1
n+ 1 k
akbn+1−k
+ n+ 1
n+ 1
an+1bn+1−(n+1)
=
n+1
X
k=0
n+ 1 k
akbn+1−k
3. conclusion :
Donc, par récurrence surn∈N, on a le résultat.
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