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Exercice 1 1. Montrer que sur C n les trois applications suivantes sont des normes k x k 1 =

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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TD 6. ESPACES VECTORIELS NORMES 1. Normes et équivalence

Exercice 1 1. Montrer que sur C n les trois applications suivantes sont des normes k x k 1 =

P n

i=1 j x i j k x k 2 = s P n

i=1 j x i j 2 k x k 1 = sup( j x 1 j ; : : : ; j x n j )

2. Montrer également qu’il existe une constante a > 0 telle que, pour tout x 2 C n k x k 1 k x k 2 k x k 1 a k x k 1

3. En étabilssant une bijection linéaire entre C n+1 et P n [X], l’espace des polynômes complexes de dégré au plus n, munir les espaces vectoriels P n [X] des normes analogues.

4. Etendre la dé…nition des trois normes obtenues sur C [X], l’éspace des polynômes à coe¢ - cients complexes. Est-ce qu’elles sont équivalentes?

Rémarque : On peut, pour tout p 1, dé…nir la norme

k x k p = ( X n

i=1

j x i j p ) 1=p

sur C n , et dé…nir des normes analogues pour les fonctions. On peut voir directement que les k k p sont dé…nies, positives et homogènes. Par contre, l’inégalité triangulaire (appelée l’inégalité de Minkowski) n’est pas triviale.

Exercice 2 Sur l’espace vectoriel des fonctions continues de [0; 1] dans C , noté C([0; 1]; C ), mon- trer que les trois applications suivantes sont des normes.

k f k 1 = R 1

0 j f (t) j dt k f k 2 = ( R 1

0 j f(t) j 2 dt)

12

k f k 1 = sup t 2 [0;1] j f (t) j Existe-t-il a et b positifs tels que l’on ait, pour tout f 2 C([0; 1]; C )

a k f k 1 k f k 1 b k f k 1

2. Topologie des EVN.

Exercice 3 Soit E un espace vectoriel normé. Montrer qu’il est homéomorphe à toute boule ouverte. (Montrer que toute boule ouverte est homéomorphe à la boule unité centrée en zéro et puis considérer l’application qui à x associe 1+ x k x k )

Exercice 4 Soit E un espace vectoriel normé 1. Soit A un sous-ensemble de E. Montrer que

_

A = \ ">0 A + B(0; ").

2. Montrer que l’adhérence d’un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de E.

Exercice 5 1. Soit (X; d) est un espace métrique et A un sous-ensemble de X , muni de la distance induite. Montrer que si (A; d A ) est complet, alors A est fermé dans X .

2. Soit E un espace vectoriel normé. Montrer qu’un sous-espace vectoriel de E, de dimension

…nie est fermé.

1

(2)

3. Utiliser le théorème de Baire pour montrer qu’un espace de Banach ne peut pas être de dimension @ 0 .

Exercice 6 On va montrer l’inverse du théorème de Riesz, énoncé dans le cours : Si E est un evn tel que la boule unité fermée soit compacte, alors E est de dimension …nie.

1. Montrer que E est un espace de Banach.

2. Montrer que si F est un sous-espace vetoriel fermé de E, strictement inclus dans E, et " > 0, alors il existe un x 2 E tel que

k x k = 1 et dist(x; F ) > 1 "

3. Supposer que E n’est pas de dimension …nie, construire une suite dans la boule unité fermée qui n’est pas une suite de Cauchy et conclure.

3. Espaces de Banach

Exercice 7 Soit E l’espace des fonctions C 1 ([ 1; 1]; R ). Montrer que N (f ) = sup

x 2 [ 1:1] j f (x) j

est une norme sur E. Montrer que la suite (f n ) n 2N 2 C 1 ([ 1; 1]; R ) dé…nie par

f n (x) =

( 0 si 1 x < 0

x 1 n sin(nx) si 0 x 1

est une suite de Cauchy et trouver sa limite. En déduire que (E; N) n’est pas un espace de Banach.

Montrer qu’en revanche E muni de la norme N (f ) = sup

x 2 [ 1;1] j f (x) j + sup

x 2 [ 1;1] j f 0 (x) j

est un espace de Banach.

Exercice 8 Soit E = C 1 ([ 1; 1]; R ) et F = f f 2 C 1 ([ 1; 1]; R ); f(0) = 0 g 1. Montrer que

k f k = sup

x 2 [ 1:1] j f 0 (x) j

est une norme sur F et que (F; k k ) est un espace de Banach. Montrer également que ce n’est pas une norme sur E.

2. Soit R la relation d’équivalence dans E dé…ni par

f R g , 9 c 2 R ; f g = c

3. Montrer que l’espace E= R est un espace vectoriel et que k k est une norme sur cet espace.

Exercice 9 Soit f 2 B ( R ) l’espace vectoriel des fonctions continues bornées de R dans lui-même.

Montrer que la fonction

k f k 1 = sup

x 2R

( j f (x) j )

dé…nit une norme sur B ( R ). On dira que f 2 B ( R ) est à support compact si et seulement si l’adhérence de l’ensemble f 1 ( R ), appelé support de f et noté par supp(f ), est un compact.

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(3)

1. Montrer que, pour un A R donné, l’ensemble

f f 2 C c ( R ; R ); supp(f ) A g est un sous-espace vectoriel de B ( R ).

2. On rémarque que supp(f i ) = A, i = 1; 2, n’entraîne pas que supp(f 1 + f 2 ) = A. Montrez-le avec un contrexample.

3. Appelons

C c ( R ; R ) = f f 2 B ( R ); supp(f) : compact g

Montrer qu’il s’agit encore d’un sous-espace vectoriel de B ( R ).

4. Montrer que l’adhérence de C c ( R ; R ) dans B ( R ), contient strictement C c ( R ; R ) et qu’il est égal à l’espace des fonctions continues qui s’annulent à l’in…ni :

C 0 ( R ; R ) = f f 2 C 0 ( R ; R ); lim

x ! 1 f (x) = 0 g

Exercice 10 Pour une fonction f 2 C 0 ( R ; R ) on dé…nit son support, noté par supp(f ), comme l’adhérance de l’ensemble

f x 2 R ; f(x) 6 = 0 g Montrer que, pour un A R donné l’ensemble

f f 2 C 0 ( R ; R ); supp(f ) A g est un sous-espace vectoriel de de C 0 ( R ; R ).

Appelons

C c ( R ; R ) = f f 2 C 0 ( R ; R ); supp(f ) : compact g

Montrer que la norme sup est bien dé…nie et qu’il s’agit bien d’une norme.

Montrer que l’adhérance de C c ( R ; R ) contient strictement C c ( R ; R ) et qu’il est égal à l’espace des fonctions continues qui s’annulent à l’in…ni :

C 0 ( R ; R ) = f f 2 C 0 ( R ; R ); lim

x ! 1 f (x) = 0 g Exercice 11 Soit ` 1 l’espace vectoriel des suites réelles bornées. Posons

d(x; y) = X 1 n=0

1 2 n

j x(n) y(n) j

1 + j x(n) y(n) j ; 8 x; y 2 ` 1

1. Montrer que d dé…nit une distance sur ` 1 .

2. Posons, 8 x 2 ` 1 , k x k 1 = sup n 0 j x(n) j . Montrer que c’est une norme sur E et écrire la distance associée.

3. Montrer que si E est un espace vectoriel et d une distance sur E, une condition necessaire et su¢ sante pour que d provienne d’une norme est que, pour tout x; y; z 2 E et scalaire,

d( x; y) = j j d(x; y) et d(x + z; y + z) = d(x; y) 4. Sur ` 1 , la distance d provient-elle d’une norme?

3

(4)

5. Soit dans (` 1 ; d) la suite (e p ) dé…nie par e p (n) = p n

p n =

( 1 si n = p

0 sinon est le symbole de Kronecker. Montrer que lim p !1 e p = 0.

6. Utiliser la même suite dans (` 1 ; k k 1 ), pour retrouver le fait que la boule unité dans cet espace n’est pas compacte.

7. Comparer sur E les topologies dé…nies par d et N .

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