a) Soit X une variété kählerienne compacte de dimension n, et soit ω une forme de Kähler sur X . Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, la classe de cohomologie

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

Géométrie complexe et théorie de Hodge

FEUILLE D’EXERCICES 4

1. (Quelques propriétés des variétés kähleriennes)

a) Soit X une variété kählerienne compacte de dimension n, et soit ω une forme de Kähler sur X . Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, la classe de cohomologie

[ω ^k ] ∈ H ^k,k (X) est non-nulle.

b) Soit i : Y , → X une sous-variété d’une variété kählerienne. Montrer que Y est kählerienne.

c) Donner un exemple d’une submersion f : X → Y entre des variétés complexes telle que Y est kählerienne, la fibre X _y := f ⁻¹ (y) est kählerienne pour tout y ∈ Y , mais X n’est pas une variété kählerienne.

d) Soit X une variété kählerienne de dimension n. Montrer que [∆ d , L] = 0

et

[L, Λ]γ = (k − n)γ pour tout k-forme γ.

2. a) Soit X une surface compacte Kählerienne et soit L un fibré en droites ho- lomorphe sur X tel que c 1 (L) = 0. Supposons qu’il existe une section non-nulle σ ∈ Γ(X, L). Montrer que L est le fibré trivial.

b) Soit X une surface complexe compacte et soit C ⊂ X une courbe lisse, c’est- à-dire une sous-variété de codimension un. On note g(C) le genre de C. Montrer que

2g(C) − 2 = (K X + C) · C.

En déduire que si C ⊂ P ² est une courbe lisse de degré d, alors g(C) = 1

2 (d − 1)(d − 2).

En particulier une courbe C de genre deux n’admet pas de plongement C , → P ² .

Date: 30 novembre 2012.

1

3. (Éclatement d’un point)

Soit 0 ∈ U ⊂ C ⁿ un voisinage ouvert de 0. L’éclatement de U en 0 est l’ensemble U ⁰ := {((x ₁ , . . . , x _n ), (y ₁ : . . . : y _n )) ∈ U × P ⁿ⁻¹ | x _i y _j = x _j y _i ∀ i, j ∈ {1, . . . , n}}.

a) Montrer que U ⁰ est une sous-variété de dimension n de U × P ⁿ⁻¹ .

b) Soit π : U ⁰ → U l’application holomorphe induite par la projection sur le premier facteur. Montrer que π ⁻¹ (0) ' P ⁿ⁻¹ et que π| _U

\π

(0) est biholomorphe.

Soit X une variété complexe de dimension n et soit x 0 ∈ X un point. Soit (U i ) _i∈N un recouvrement par des voisinages de coordonnées de X tel que x 0 ∈ U 1 et x 0 6∈ U i

pour i 6= 1. Soit U ₁ ⁰ l’éclatement de U ₁ en x ₀ . On montre facilement que U ₁ ⁰ ∪ ∪ i > 2 U _i se récolle en une variété complexe X ⁰ qui admet une application holomorphe π : X ⁰ → X telle que π ⁻¹ (x 0 ) ' P ⁿ⁻¹ et π| _X

_\π

₍₀₎ est biholomorphe. On appelle X ⁰ l’éclatement de X en x 0 , et E := π ⁻¹ (x 0 ) ' P ⁿ⁻¹ le diviseur exeptionnel.

c) Montrer que

K _X

' µ ^∗ K _X ⊗ O X

(E) ^⊗n−1 . En déduire que

O X

(E)| _E ' O _P

(−1).

d) Supposons maintenant que X est une surface complexe compacte. Montrer que E ² = −1.

2