Soit (Uα)α∈Nun recouvrement de Leray deX tel qu’on a des équations locales pour D, i.e

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

Géométrie complexe et théorie de Hodge

FEUILLE D’EXERCICES 3

1. SoitX une variété complexe. Montrer que siLest un fibré en droites complexe etE un fibré vectoriel complexe de rangr, alors

c1(E⊗L) =c1(E) +rc1(L).

2. (Métrique de Fubini-Study) Posons

f :Cⁿ⁺¹\0→R, f(z) = log(

n

X

j=0

|z_j|²).

a) Montrer quef est plurisousharmonique.

b) Montrer quei∂∂f induit une (1,1)-formeω surPⁿ qui estd-fermée.

c) Montrer quef peut être vu comme le poids d’une métriqueh surOPⁿ(1) telle que (O_Pⁿ(1), h) est positif.

3. Soit X une variété complexe de dimension n et soitD ⊂X une hypersurface lisse, c’est-à-dire une union disjointe de sous-variétés complexes de codimension un.

Soit (Uα)_α∈Nun recouvrement de Leray deX tel qu’on a des équations locales pour D, i.e. il existefα∈OU_α tel que

D∩Uα={x∈Uα|fα(x) = 0}

etdf_α(x)6= 0 pour toutx∈D∩U_α.

SurUα∩Uβon définit des applications holomorphesgαβ:= ^f_f^α

β, nous avons vu dans le cours que (gαβ)α<β est un 1-cocyle de Čech deOX^∗.

a) On pose

[OX(D)]∈Pic(X)

pour la classe d’isomorphisme du fibré en droites holomorphe correspondant. Mon- trer que la définition ne dépend pas du choix du recouvrement et des équations locales.

b) SoitID⊂OX le faisceau d’idéaux de DdansX, c’est-à-dire pour toutU ⊂X ouvert

ID(U) :={s∈OX(U)|s(x) = 0∀x∈D∩U}.

Montrer queID|U_α =fαOU_α. En déduire que ID=OX(D)^∗.

Date: 23 novembre 2012.

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On a donc une suite exacte

0→OX(D)^∗→OX→OD→0

c) Soit L → X un fibré en droites holomorphe, et soit σ ∈ Γ(X, L) une section non-nulle telle que

D:={x∈X |σ(x) = 0}

est lisse etdσ(x)6= 0 pour toutx∈D. Montrer queL'OX(D).

4. Soit X une surface compacte (c’est-à-dire une variété complexe compacte de dimension 2).

a) Soitω une 2-forme globale de type (2,0). Montrer que Z

X

ω∧ω>0.

b) Montrer que siω∈Γ(X,Ω^k) est unek-forme holomorphe, alorsdω= 0.

c) Soitf :X →Cune fonction différentiable qui satisfait ∂∂f= 0. Montrer quef est constante.

Indication : montrer que dans un voisinage de coordonnéesf est pluriharmonique.

Déduire que siω ∈H^1,0(X) tel qu’il existe une fonction différentiablef avecω=

∂f, alorsω= 0. Montrer qu’on a une inclusion

H^1,0(X),→H^0,1(X), ω7→[ω].

d) Montrer que siω∈H^2,0(X) tel qu’il existeη∈C^∞(X,Ω^1,0_X ) avecω=∂η, alors ω= 0. Déduire qu’on a une inclusion

H^2,0(X),→H^0,2(X), ω7→[ω]

e) Montrer qu’on a des inclusions

H^1,0(X),→H¹(X,C), ω7→[ω]

et

H^2,0(X),→H²(X,C), ω7→[ω].

Pour k = 1,2, on peut donc identifier H^k,0(X) à un sous-espace de H^k(X,C) = H^k(X,R)⊗C. Montrer que

H^k,0(X)∩H^k,0(X) = 0.

Déduire que pour toute surface compacte

2h^1,06b₁62h^0,1. Donner un exemple où les inégalités sont strictes.

Indication : pour la deuxième inégalité, on peut considérer la suite exacte 0→C→OX

→d Z¹→0, oùZ¹ est le faisceau des 1-formes holomorphesd-fermées.

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