Université Pierre et Marie Curie L3 Mathématiques

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LM336 Méthodes numériques pour les équations différentielles

Examen première session, 21 mai 2013 Durée : 2 heures.

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Question de cours

Donner les définitions de solution locale, solution globale et solution maximale pour un pro- blème de Cauchyy⁰(t) = f(t,y(t))sur[0,T[,y(0) =y₀.

Exercice I

On considère le système différentiel suivant :

(y⁰₁(t) =y₁(t)−αy₁(t)⁵y₂(t)²+y₂(t) y⁰₂(t) =−y₁(t)−y₂(t)³+y₂(t),

où les fonctionsy_iinconnues sont à valeurs réelles, avecα ≥0 une constante donnée.

a. Écrire le système sous la formeY⁰(t) = f(Y(t)) où f: R^m→R^m est une fonction que l’on précisera, ainsi que l’entierm.

b. Montrer que la fonction f est localement lipschitzienne. Est-elle globalement lipschit- zienne (justifiez votre réponse : juste « oui » ou « non » ne suffit pas) ?

c. Montrer que le problème de CauchyY⁰(t) = f(Y(t)),Y(0) =Y₀admet une unique solution locale pour touty₀∈R^m(on énoncera avec soin le théorème invoqué pour cela).

d. Montrer que l’applicationY 7→ kYk², où la norme désigne la norme euclidienne usuelle, est une fonction de Liapounov pour ce système différentiel.

e. Que peut-on en déduire pour le problème de Cauchy ci-dessus ? f. Déterminer les points critiques du système dans le cas oùα=0.

Exercice II

Dans cet exercice, on s’intéresse à l’approximation numérique d’un problème de Cauchy

(y⁰(t) = f(y(t)), t∈[0,T], y(0) =y₀,

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avec une équation autonome (pour simplifier l’écriture), où f est une fonction globalement lipschitzienne deRdansR, de constante de LipschitzL. Comme d’habitude, on se donne un entierN >0, on pose h= ^T_N ett_n=nh pourn=0, . . . ,N. Soient c₂ et c₃ deux nombres de [0,1]. On considère la méthode de Runge-Kutta définie par











y_n,1=y_n,

y_n,2=y_n+c₂h f(y_n,1), y_n,3=y_n+c₃h f(y_n,2), y_n+1=y_n+h f(y_n,3).

a. Cette méthode est elle implicite ou explicite et pourquoi ? Est-ce une méthode à un pas ou bien à pas multiples et pourquoi ?

b. Écrire le tableau qui représente de façon concise cette méthode de Runge-Kutta.

c. Réécrire la méthode sous la forme y_n+1 = y_n+hF_h(y_n) en explicitant la fonction F_h. En déduire que la méthode est consistante et stable. En déduire qu’elle est convergente. (On énoncera avec soin les théorèmes invoqués pour tout cela).

d. On suppose que f est de classeC¹. Montrer que toute solutionyde l’edo est de classeC² et quey⁰⁰(t) = f⁰(y(t))f(y(t))pour toutt.

e. On note l’erreur de consistance ε_n = y(t_n+1)−y(t_n)−hF_h(y(t_n)) où y est une solu- tion régulière de l’edo (disons de classe C³). Donner toutes les valeurs de c₂ et c₃ telles que la méthode soit d’ordre 2. On pourra organiser le calcul comme suit : poser A_n,2 = y(t_n) +c₂h f(y(t_n)), A_n,3 =y(t_n) +c₃h f(A_n,2) puis ε_n =y(t_n+1)−y(t_n)−h f(A_n,3)et ne pas développer inutilement trop loin.Quelle majoration de l’erreur¹obtient-on dans ce cas ? e bonus. Est-il possible de choisir c₂etc₃ pour que la méthode soit d’ordre 3 ? Naturelle- ment, il faut justifier la réponse, sinon cela ne sert à rien.

On se propose maintenant d’utiliser une autre méthode numérique définie par

y_n+1=y_n−1+h 7

3f(y_n)−2

3f(y_n−1) +1

3f(y_n−2)

,

avecy₀,y₁ety₂donnés d’une façon ou d’une autre.

f. Cette méthode est elle implicite ou explicite et pourquoi ? Est-ce une méthode à un pas ou bien à pas multiples et pourquoi ?

g. Calculer l’ordre de cette méthode.²

1. Sans nécessairement chercher à expliciter les constantes qui y apparaissent...

2. Ici, l’erreur de consistance estε_n=y(t_n+1)−y(t_n−1)−h ⁷₃f(y(t_n))−²₃f(y(t_n−1)) +¹

3f(y(t_n−2)) .

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