UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

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UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

Géométrie complexe et théorie de Hodge

FEUILLE D’EXERCICES 1

1. Principe du maximum.

a) Soit U ⊂ C

ⁿ

un ouvert et f : U → C une fonction holomorphe telle que |f | a un maximum local dans z

0

∈ U . Montrer qu’il existe un polydisque D ⊂ U autour de z

0

telle que f |

D

est constante.

b) Montrer qu’une fonction holomorphe f : X → C sur une variété complexe compacte est constante.

c) Soit X une sous-variété complexe compacte de C

ⁿ

. Montrer que X a dimension zéro.

2. Soit f ∈ C [X

₀

, . . . , X

_n

] un polynôme homogène non-nul et irréductible. Posons X := {x ∈ P

ⁿ

| f (x) = 0}.

Montrer que l’hypersurface X est lisse, c’est-à-dire est une sous-variété lisse de P

ⁿ

, si et seulement si

{x ∈ ( C

ⁿ⁺¹

\ 0) | ∂f

∂X

0

(x) = . . . = ∂f

∂X

n

(x) = 0}

est vide.

3. Montrer que

Γ( P

¹

, O

P¹

(k)) =







0 si k < 0,

C si k = 0,

polynômes homogènes en deux variables de degré k si k > 0.

Généraliser au cas des fibrés en droites O

_Pⁿ

(k) sur P

ⁿ

. 4. Variété grassmannienne et plongement de Plücker.

Soit n > 2 un nombre naturel et 0 < r < n entier. On définit la variété grassmannienne comme l’ensemble

G(r, C

ⁿ

) := {S ⊂ C

ⁿ

sous-espace vectoriel de dimension r}.

Posons U (n, C ) ⊂ GL(n, C ) pour le groupe unitaire.

a) Montrer qu’on a une application surjective U (n, C ) → G(r, C

ⁿ

).

Date: 16 novembre 2012.

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(2)

On munit G(r, C

ⁿ

) de la topologie quotient donnée par la surjection U (n, C ) → G(r, C

ⁿ

). On définit des cartes sur G(r, C

ⁿ

) comme suit : pour tout T

_i

⊂ C

ⁿ

un sous-espace vectoriel de dimension n − r, soit

U

i

:= {S ⊂ C

ⁿ

sous-espace vectoriel de dimension r | S ∩ T

i

= 0}.

Soit S

_i

∈ U

_i

arbitraire, alors on peut définir une application ϕ

i

: U

i

→ Hom(S

i

, T

i

) ' C

^r(n−r)

en associant à S ∈ U

i

l’unique application C -linéaire f ∈ Hom(S

i

, T

i

) telle que S ⊂ C

ⁿ

= S

_i

⊕ T

_i

est le graphe de f .

b) Montrer que les applications ϕ

i

= ϕ

i

(S

i

, T

i

) définissent une structure complexe sur G(r, C

ⁿ

).

On définit une application

ψ : G(r, C

ⁿ

) → P (

r

^ C

ⁿ

)

comme suit : soit U ⊂ C

ⁿ

un sous-espace de dimension r et soit u

1

, . . . , u

r

une base de U . Le multivecteur

u

₁

∧ . . . ∧ u

_r

donne un point dans P ( V

r

C

ⁿ

).

c) Monter que ψ est bien définie. Montrer que ψ est un plongement (dite de Plücker).

d) Montrer que G(r, C

ⁿ

) est une variété projective.

Indication : im ψ peut être identifié aux multivecteurs w ∈ V

r

C

ⁿ

qui sont décom- posables, c’est-à-dire il existe des vecteurs v

₁

, . . . , v

_r

∈ C

ⁿ

tels que

w = v

₁

∧ . . . ∧ v

r

. Pour tout w ∈ V

r

C

ⁿ

, on considère l’application linéaire ϕ

w

: C

ⁿ

→

r+1

^

C

ⁿ

, v 7→ v ∧ w.

Montrer que w est décomposable si et seulement si rg ϕ

w

6 n − r.

e) Soit e

₁

, . . . , e

₄

la base canonique de C

⁴

. Chaque 2-vecteur w ∈ V

2

C

⁴

a une unique décomposition

w = X

0

e

1

∧ e

2

+ X

1

e

1

∧ e

3

+ X

2

e

1

∧ e

4

+ X

3

e

2

∧ e

3

+ X

4

e

2

∧ e

4

+ X

5

e

3

∧ e

4

. Montrer que pour les coordonnées homogènes [X

₀

: . . . : X

₅

] sur P ( V

2

C

⁴

), le plongement de Plücker de G(2, C

⁴

) dans P ( V

2

C

⁴

) ' P

⁵

a l’équation X

0

X

5

− X

1

X

4

+ X

2

X

3

= 0.

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