Soit Γ ⊂ G le sous-groupes des matrices telle que x, y, z ∈ Z[i]

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Année 2012/2013 M2 de Mathématiques fondamentales

Géométrie complexe et théorie de Hodge

FEUILLE D’EXERCICES 5

1. (Variétés d’Iwasawa)

a) SoitX une variété kählerienne compacte. Soit ω ∈Γ(X,Ω^p) unep-forme holo- morphe. Montrer quedω= 0.

b) SoitGle sous-groupe deGL3(C) formé par les matrices



 1 x z 0 1 y 0 0 1



,

où x, y, z ∈ C. Soit Γ ⊂ G le sous-groupes des matrices telle que x, y, z ∈ Z[i].

Montrer queG/Γ a une structure naturelle de variété complexe compacte.

Montrer quedx, dy, dz−xdy∈H⁰(G,Ω_G) induisent des 1-formes surG/Γ. Déduire queG/Γ n’est pas kählerienne.

2. SoitX =Cⁿ/Λ une tore complexe.

a) Montrer queTX O_X^⊕n.

b) Calculer les nombres de Hodgeh^p,q pour toutp, q∈ {0, . . . , n}.

3. SoitC→OX l’inclusion etH¹(X,C)→H^0,1(X) la flèche induite en cohomolo- gie. Montrer que le noyau de cette flèche s’identifie àH^1,0(X). Indication : utiliser les résolutions

0 C C^{∞ d} Ω_X,C

α→α^0,1 d . . .

0 OX C^{∞ ∂} Ω^0,1_X ^∂ . . . 4. (Décomposition de Lefschetz sur les formes)

Soit (X, ω) une variété kählerienne. On note L l’opérateur de Lefschetz et soit α∈C^∞(X,Ω^k_X,R) aveckn. Montrer qu’il existe une unique décomposition

α=

r

L^rαr

telle queαrest primitive de degréek−2r.

Date: 6 décembre 2012.

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5. Une surface regléeS est une surface kählerienne compacte qui admet une sub- mersionf :S →C sur une courbe C telle que toutes les fibresSc :=f⁻¹(c) sont isomorphes àP¹. Montrer qu’une surface reglée est projective.

Indication : commencer par montrer qu’on a une suite exacte 0→TSc→TS|Sc →OSc→0. On a doncKS|ScOP¹(−2).

6. On veut calculer les groupes de cohomologie des fibrés en droitesOPⁿ(k) surPⁿ. a) Montrer que sik−n, alors

H^q(Pⁿ,OPⁿ(k)) = 0 ∀q1. b) Utiliser la dualité de Serre pour discuter le cask−(n+ 1).

7. a) Utiliser le théorème de Lefschetz sur les classes (1,1) pour montrer que le groupe de Néron-Severi d’un tore complexeX =Cⁿ/Λ s’identifie à l’ensemble des formes hermitiennesH = (hj,k)j,k=1,...,n surCⁿ telle que

ImH(γ, γ)∈Z ∀γ, γ∈Λ.

b) Soient a, b, c, d ∈ R\Q qui sont linéairement indépendants surQ et tels que ad−bc∈R\Q. Soit Λ⊂C²le réseau engendré par les vecteurs

1 0

, 0

1

, ia

ib

, ic

id

.

SoitX :=C²/Λ. Montrer que Pic(X) = Pic⁰(X), c’est-à-dire le groupe de Néron- Severi est zéro.

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