Université Pierre & Marie Curie
2006-2007 ALGÈBRE ~ ~ 3 7 0 Examen d u 4 J u i n 2007Durée 5' heures. Documents, calculatrices et téléphones interdits
Exercice 1.
-
2 i r 1
Soit le nombre complexe z = e a , et soit c = 2 cos = z
+ ;.
Montrer que z6
+
z3+
1 = O. En déduire que c est algébrique sur $. Quel est son polynôme minimal? Montrer qu'il n'existe pas d'extension L de $ de degré 2n telle que c E L.Exercice -2. - Soit a une racine dans IR du polynôme x2 - x - 1 E Z[x], et K le corps $(a). On pose b = 1 - a. L'objet de cet exercice est l'étude de certaines matrices de IM3(K).
1. Calculer le P.G.C.D. des polynômes x5 - 1 et x3 - ax2
+
ax - 1. Factoriser le polynôme x5 - 1 en produit de facteurs irréductibles dans K[x].2. Soit M une matrice 3 x 3 à coefficients dans un corps F. On suppose que det(M) = 1 et que 1 est valeur propre de M. Montrer que le polynôme caractéristique de M est
3. Soit B la matrice à coefficients dans k définie par l'égalité
Montrer que B est une matrice orthogonale. Quel est son déterminant? Montrer que B3 = Id.
4. Soit A la matrice diagonale définie par l'égalité
Calculer la matrice C définie par C = AB. Quel est le polynôme caractéristique de C ? Existe-t-il un entier n tel que Cn = Id ?
Exercice 3. - Soit k un corps, R = M2(k) l'anneau des matrices 2
x
2 à coefficients dans k.L'objet de ce problème est l'étude des automorphismes de R, c'est à dire des bijections g de R dans lui-même vérifiant g(A
+
B) = g(A)+
g(B) et g(AB) = g(A)g(B) pour tout A et tout B appartenant à R. On supposera aussi que pour tout X E k, g (A Id) = X Id.On notera N = O O
1. Soit g un automorphisme de R. Montrer que g-1 est un automorphisme de R. En déduire que pour tout A E R, A et g(A) ont même polynôme minimal, même déterminant et même trace.
2. Soit f un automorphisme de R tel que f (A) = A. Soit D une matrice diagonale. Montrer qu'il existe X, p E k tels que D = X Id
+
p A. En déduire que f (D) = D.3. Soit f un automorphisme de R tel que f (A) = A. On pose f (N) =
(e :).
2 Agrégation de Mathématiques
a. Montrer que d = -a. Montrer que A N = N. En déduire que f (N) = cN.
b. Montrer qu'il existe b' E k tel que f (Nt) = btNt. Puis, en calculant f ( N N t
+
N I N ) de deux manières différentes, montrer que c#
O et que f (Nt) = $NI.c. Soit Q =
(i C) .
Montrer que pour tout M E R, f (M) = Q MQ-'.
4. Soit g un automorphisme de R. Montrer qu'il existe une matrice inversible P, telle que g(M) = P M P-' pour tout M appartenant à R.
Exercice 4. - Soit A la matrice définie par l'égalité
Déterminer la dimension de ker(A) de ker(A2), et de ker(A3).
Quelle est la forme de Jordan de A ?
Exercice 5. - Soit A une matrice de M,(IR) telle que A3 = - A. Montrer que la trace de A est un entier naturel.
