Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie
M2 de Mathématiques 2ème semestre 2011–2012
Examen
3 heures
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Exercice 1: Contrôlabilité de l’équation des ondes 1-D
Soient T > 0 et L > 0 fixés. On considère l’équation des ondes en dimension 1, contrôlée sur sa frontière :
y tt = y xx , t ∈ (0, T ), x ∈ (0, L), y(t, 0) = 0, y(t, L) = u(t), t ∈ (0, T ),
y(0, x) = y 0 (x), y t (0, x) = y 1 (x), x ∈ (0, L),
(1)
où l’état au temps t ∈ [0, T ] est (y(t, ·), y t (t, ·)) et le contrôle est u(t) ∈ IR. On veut montrer que l’équation des ondes 1D est exactement contrôlable en temps T dans l’espace L 2 (0, L) × H −1 (0, L), avec des contrôles u ∈ L 2 (0, T ), si et seulement si T > 2L.
1. Écrire le système (1) sous la forme abstraite Y t = AY + Bu, en précisant la définition des opérateurs.
2. Montrer que la propriété d’exacte contrôlabilité en temps T dans L 2 ×H −1 est équivalente à l’inégalité d’observabilité:
il existe C T > 0 tel que, pour tout ψ 0 ∈ H 0 1 (0, L), et tout ψ 1 ∈ L 2 (0, L), la solution de
ψ tt = ψ xx ,
ψ(t, 0) = ψ(t, L) = 0,
ψ(0, ·) = ψ 0 (·), ψ t (0, ·) = ψ 1 (·),
(2)
vérifie
Z T 0
|ψ x (t, L)| 2 dt > C T
Z L 0
|ψ 0 x (x)| 2 + |ψ 1 (x)| 2
dx. (3)
3. Dans cette question, on démontre l’inégalité d’observabilité (3) en utilisant des séries de Fourier.
(a) En posant
ψ 0 (x) =
∞
X
k=1
a k sin kπx
L , et ψ 1 (x) =
∞
X
k=1
b k sin kπx L , montrer que la solution de (2) s’écrit
ψ(t, x) =
∞
X
k=1
a k cos kπt L + b k L
kπ sin kπt L
sin kπx L .
(b) En déduire l’inégalité (3) pour T = 2L, puis pour T > 2L.
(c) En déduire que, pour tout T > 2L, le système (1) est exactement contrôlable en temps T dans L 2 (0, L) × H −1 (0, L), avec des contrôles u ∈ L 2 (0, T ).
(d) Démontrer que le système (1) n’est pas contrôlable en temps T < 2L.
Indication : pour T 6 2L −2δ, où δ > 0, considérer la solution de ψ tt = ψ xx ,, ψ(t, 0) = ψ(t, L) = 0, ayant en t = T /2 des données à support contenu dans l’intervalle ]0, δ[, et montrer que l’inégalité d’observabilité (3) n’a pas lieu, en utilisant le fait que la vitesse de propagation de l’équation des ondes est égale à 1.
4. Décrire rapidement la méthode HUM pour T = 2π.
1
Exercice 2: Stabilisation d’une équation de la chaleur 1D non linéaire
Soit L > 0 fixé et f : IR → IR une fonction de classe C 2 telle que f (0) = 0. On considère l’équation de la chaleur 1D non linéaire
( y t = y xx + f (y),
y(t, 0) = 0, y(t, L) = u(t), (4)
où l’état est y(t, ·) : [0, L] → IR et le contrôle est u(t) ∈ IR.
1. Dans le cas où f ≡ 0 (cas linéaire), expliquer comment écrire cette équation sous la forme abstraite y t = Ay +Bu en précisant la définition des opérateurs. On supposera ici que y(0, ·) ∈ L 2 (0, L) et que u(·) ∈ L 2 (0, T ).
2. Existence et unicité d’une solution. Cette question est une question bonus: on recommande de passer directement à la question 3, puis d’y revenir éventuellement ensuite.
(a) Montrer que, pour tout T > 0, L 2 (0, T ; H 2 (0, L)) ∩ H 1 (0, T ; L 2 (0, L)) ⊂ L ∞ ((0, T ) × (0, L)).
Indications: Considérer v ∈ L 2 (0, T ; H 2 (0, L)) avec v t ∈ H 1 (0, T ; L 2 (0, L)). Décomposer v en (double) série de Fourier, v = P
j,k c jk e ijt e ikx , montrer que X
j,k
|c jk | 6
X
j,k
1 1 + j 2 + k 4
1/2
X
j,k
(1 + j 2 + k 4 )|c jk | 2
1/2
,
puis montrer que ces séries convergent et conclure.
Noter que ce résultat est utile pour donner un sens à f (y) dans (4), et donc à cette équation au sens des distributions (et on obtient donc l’existence locale).
(b) Démontrer que, si y 1 et y 2 sont solutions de (4) sur [0, T ] alors y 1 = y 2 .
Indications: En posant v = y 1 − y 2 , montrer que v est solution de v t = v xx + a v avec v(t, 0) = v(t, L) = 0, v(0, x) = 0, et a(t, x) = g(y 1 (t, x), y 2 (t, x)) où g est une fonction C 1 . Puis montrer que v = 0.
Le but est maintenant de construire un contrôle feedback stabilisant l’équation en 0, i.e. construire une fonc- tion contrôle u dépendant de l’état au temps t telle que le système bouclé avec ce contrôle soit localement asymptotiquement stable au voisinage de 0.
3. Pour se ramener à un problème de Dirichlet, on pose z(t, x) = y(t, x) − x L u(t). On suppose que la fonction u est dérivable. On pose v(t) = u 0 (t), et on considère désormais que v est notre contrôle. On suppose également que u(0) = 0. Montrer que l’équation peut se mettre sous la forme
z t = z xx + f 0 (0)z + x
L f 0 (0)u − x
L v + r(t, x), z(t, 0) = z(t, L) = 0,
(5) avec z(0, x) = y(0, x) et
r(t, x) =
z(t, x) + x
L u(t) 2 Z 1 0
(1 − s)f 00
sz(s, x) + s x L u(s)
ds. (6)
4. Soit B > 0 une constante quelconque. Montrer qu’il existe C 1 , C 2 > 0 tels que, si |u(t)| 6 B et kz(t, ·)k L
∞(0,L) 6 B, alors
kr(t, ·)k L
∞(0,L) 6 C 1 (u(t) 2 + kz(t, ·)k 2 L
∞(0,L) ) 6 C 2 (u(t) 2 + kz(t, ·)k 2 H
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