Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie

(1)

Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie

M2 de Mathématiques 2ème semestre 2012–2013

Examen

3 heures

—————————————————

Exercice 1: Etude d’un système prédateurs-proies en dimension finie Considérons le système prédateurs-proies contrôlé

˙

x(t) = x(t)(1 − y(t) + u(t)),

˙

y(t) = −y(t)(1 − x(t)),

où le contrôle est u(t) ∈ IR.

1. Etude du système sans contrôle. Dans cette question, on pose u = 0.

(a) Montrer que (x = 1, y = 1) est un point d’équilibre du système.

(b) Montrer que la fonction V (x, y) = x − 1 − ln(x) + y − 1 − ln(y) est constante le long de toute solution.

(c) Montrer que la fonction x 7→ x − 1 − ln(x) est positive sur ]0, +∞[ et ne s’annule qu’en x = 1. En déduire que V est une fonction de Lyapunov non stricte pour le système sans contrôle.

(d) Dresser rapidement un portrait de phase du système, dans le quadrant x > 0, y > 0.

2. Contrôlabilité locale au point d’équilibre, et stabilisation locale.

(a) Linéariser le système au voisinage du point d’équilibre x = 1, y = 1, u = 0.

(b) Démontrer que ce système linéarisé est contrôlable.

(c) En déduire l’existence d’un contrôle feedback linéaire stabilisant localement le système en sa position d’équilibre (x = 1, y = 1). Chercher une expression explicite d’un tel feedback.

3. Stabilisation globale. On cherche l’expression d’un contrôle feedback global stabilisant le système vers sa position d’équilibre (x = 1, y = 1).

(a) Montrer que _dt ^d V (x(t), y(t)) = u(t)(x(t) − 1).

(b) Démontrer que le feedback u(t) = 1 − x(t) stabilise globalement le système vers (x = 1, y = 1).

4. Contrôle optimal.

Soit T > 0 un temps final fixé. Soit M > 0. On considère le problème de contrôle optimal suivant: trouver un contrôle optimal u défini sur [0, T ], vérifiant la contrainte 0 6 u(t) 6 M , minimisant (x(T ) − 1) ² + (y(T ) − 1) ² .

(a) Appliquer le principe du maximum de Pontryagin à ce problème de contrôle optimal:

i. Ecrire le Hamiltonien du problème.

ii. Ecrire les équations extrémales.

iii. Ecrire les conditions de transversalité.

iv. Ecrire la condition de maximisation.

(b) Démontrer que p ⁰ 6= 0.

(c) Démontrer que les contrôles optimaux sont bang-bang.

—————————————————

1

(2)

Exercice 2: Une condition de Kalman en dimension infinie

Soient X et U des Banach. Considérons une EDP contrôlée sous la forme

y t = Ay + Bu (1)

où A : D(A) → X est un opérateur à domaine dense, engendrant un C 0 semi-groupe S(t), et B ∈ L(U, X) est un opérateur de contrôle borné. On pose

U ∞ = n u ∈ U

Bu ∈

+∞

\

n=1

D(A ⁿ ) o .

Le but de l’exercice est de montrer que si

Vect{A ⁿ Bu | u ∈ U _∞ , n ∈ IN} = X (2)

alors le système (1) est approximativement contrôlable en temps T .

1. Justifier (rapidement) que le système (1) est approximativement contrôlable en temps T si et seulement si

∀ψ ∈ D(A ^∗ ) ∀t ∈ [0, T ] B ^∗ S(T − t) ^∗ ψ = 0 ⇒ ψ = 0.

2. On pose K T = Vect{A ⁿ Bu | u ∈ U _∞ , n ∈ IN}. Soit ψ ∈ D(A ^∗ ) tel que B ^∗ S(T − t) ^∗ ψ = 0 pour tout t ∈ [0, T ].

Montrer que hψ, K T i X

⁰

,X = 0.

3. Conclure.

—————————————————

Exercice 3:

Soient X et U des Banach (X étant de dimension infinie). Considérons une EDP contrôlée sous la forme

y t = Ay + Bu (3)

où A : D(A) → X est un opérateur à domaine dense, engendrant un C 0 semi-groupe S(t), et B ∈ L(U, X ₋₁ ) est un opérateur de contrôle. (on rappelle que X ₋₁ ' D(A ^∗ ) ⁰ si X est réflexif)

Le but de l’exercice est de donner des conditions générales sous lesquelles le système (3) n’est jamais exactement contrôlable en temps fini T , avec des contrôles dans L ² (0, T ; U).

1. On suppose que l’opérateur de contrôle est borné (i.e., B ∈ L(U, X)) et compact (i.e., l’image de la boule unité de U par B est relativement compacte).

On rappelle que L T : L ² (0, T ; U ) → X est défini par L T u = R T

0 S(T − t)Bu(t) dt. Soit N ∈ IN ^∗ quelconque; on pose t i = iT /N , i = 0 . . . , N. On définit l’opérateur

L T ,N u =

N−1

X

i=0

S(T − t i )B Z t

_i+1

t

_i

u(t) dt.

(a) Montrer que L _{T ,N} : L ² (0, T ; U ) → X est un opérateur compact.

(b) Montrer que la suite d’opérateurs (L _{T ,N} ) _N∈IN

^∗

converge (fortement) vers L _T . (c) En déduire que L T est compact.

(d) Montrer que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).

2

(3)

2. On suppose que l’opérateur de contrôle est borné (i.e., B ∈ L(U, X )) et que le semi-groupe S(t) est compact pour tout t > 0.

Pour tout ε > 0, on définit l’opérateur L T ,ε : L ² (0, T ; U ) → X par L T ,ε u = R T−ε

0 S(T − t)Bu(t) dt.

(a) Démontrer que L T ,ε converge (fortement) vers L T lorsque ε tend vers 0.

(b) Démontrer que L T ,ε = S(ε)L T −ε , et en déduire que L T ,ε est un opérateur compact, pour tout ε > 0.

(c) En déduire que L T est compact.

(d) Montrer que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).

3. On suppose que X = X ⁰ et U = U ⁰ sont des Hilbert, et que A est un opérateur auto-adjoint strictement négatif d’inverse compact. On rappelle que X _1/2 = D(A ^1/2 ) est le complété de D(A) pour la norme p

hAx, xi, et X _−1/2 = X _1/2 ⁰ par rapport à l’espace pivot X. On suppose que l’opérateur de contrôle est tel que B ∈ L(U, X _−1/2 ) (autrement dit son degré de non bornitude est 6 1/2).

(a) Justifier (rapidement) que le système (3) est exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )) si et seulement s’il existe C > 0 telle que

∀ψ ∈ D(A) Z T

0 kB ^∗ S(T − t) ^∗ ψk ² _U dt > Ckψk ² _X .

(inégalité d’observabilité)

(b) Soit (φ _j ) _j∈IN

^∗

une base orthonormale de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres λ _j < 0, avec λ _j → −∞ lorsque j → +∞.

Démontrer que

Z T

0 kB ^∗ S(T − t) ^∗ φ _j k ² _U dt ∼

j→+∞

1 |λ j | kB ^∗ φ _j k ² _U = kB ^∗ (−A) ^−1/2 φ _j k ² _U . (c) Montrer que l’opérateur B ^∗ (−A) ^−1/2 ∈ L(X, U) est compact.

(d) En utilisant (et justifiant) le fait que φ _j converge faiblement vers 0 dans X, montrer que l’inégalité d’observabilité n’a pas lieu.

(e) En déduire que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).

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Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie

Université Pierre et Marie Curie Contrôle en dimension finie et infinie

M2 de Mathématiques 2ème semestre 2012–2013

Examen

3 heures

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Exercice 1: Etude d’un système prédateurs-proies en dimension finie Considérons le système prédateurs-proies contrôlé

˙

x(t) = x(t)(1 − y(t) + u(t)),

˙

y(t) = −y(t)(1 − x(t)),

où le contrôle est u(t) ∈ IR.

1. Etude du système sans contrôle. Dans cette question, on pose u = 0.

(a) Montrer que (x = 1, y = 1) est un point d’équilibre du système.

(b) Montrer que la fonction V (x, y) = x − 1 − ln(x) + y − 1 − ln(y) est constante le long de toute solution.

(c) Montrer que la fonction x 7→ x − 1 − ln(x) est positive sur ]0, +∞[ et ne s’annule qu’en x = 1. En déduire que V est une fonction de Lyapunov non stricte pour le système sans contrôle.

(d) Dresser rapidement un portrait de phase du système, dans le quadrant x > 0, y > 0.

2. Contrôlabilité locale au point d’équilibre, et stabilisation locale.

(a) Linéariser le système au voisinage du point d’équilibre x = 1, y = 1, u = 0.

(b) Démontrer que ce système linéarisé est contrôlable.

(c) En déduire l’existence d’un contrôle feedback linéaire stabilisant localement le système en sa position d’équilibre (x = 1, y = 1). Chercher une expression explicite d’un tel feedback.

3. Stabilisation globale. On cherche l’expression d’un contrôle feedback global stabilisant le système vers sa position d’équilibre (x = 1, y = 1).

(a) Montrer que dt d V (x(t), y(t)) = u(t)(x(t) − 1).

(b) Démontrer que le feedback u(t) = 1 − x(t) stabilise globalement le système vers (x = 1, y = 1).

4. Contrôle optimal.

Soit T > 0 un temps final fixé. Soit M > 0. On considère le problème de contrôle optimal suivant: trouver un contrôle optimal u défini sur [0, T ], vérifiant la contrainte 0 6 u(t) 6 M , minimisant (x(T ) − 1) 2 + (y(T ) − 1) 2 .

(a) Appliquer le principe du maximum de Pontryagin à ce problème de contrôle optimal:

i. Ecrire le Hamiltonien du problème.

ii. Ecrire les équations extrémales.

iii. Ecrire les conditions de transversalité.

iv. Ecrire la condition de maximisation.

(b) Démontrer que p 0 6= 0.

(c) Démontrer que les contrôles optimaux sont bang-bang.

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1

Exercice 2: Une condition de Kalman en dimension infinie

Soient X et U des Banach. Considérons une EDP contrôlée sous la forme

y t = Ay + Bu (1)

où A : D(A) → X est un opérateur à domaine dense, engendrant un C 0 semi-groupe S(t), et B ∈ L(U, X) est un opérateur de contrôle borné. On pose

U ∞ = n u ∈ U

Bu ∈

+∞

\

n=1

D(A n ) o .

Le but de l’exercice est de montrer que si

Vect{A n Bu | u ∈ U ∞ , n ∈ IN} = X (2)

alors le système (1) est approximativement contrôlable en temps T .

1. Justifier (rapidement) que le système (1) est approximativement contrôlable en temps T si et seulement si

∀ψ ∈ D(A ∗ ) ∀t ∈ [0, T ] B ∗ S(T − t) ∗ ψ = 0 ⇒ ψ = 0.

2. On pose K T = Vect{A n Bu | u ∈ U ∞ , n ∈ IN}. Soit ψ ∈ D(A ∗ ) tel que B ∗ S(T − t) ∗ ψ = 0 pour tout t ∈ [0, T ].

Montrer que hψ, K T i X

,X = 0.

3. Conclure.

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Exercice 3:

Soient X et U des Banach (X étant de dimension infinie). Considérons une EDP contrôlée sous la forme

y t = Ay + Bu (3)

où A : D(A) → X est un opérateur à domaine dense, engendrant un C 0 semi-groupe S(t), et B ∈ L(U, X −1 ) est un opérateur de contrôle. (on rappelle que X −1 ' D(A ∗ ) 0 si X est réflexif)

Le but de l’exercice est de donner des conditions générales sous lesquelles le système (3) n’est jamais exactement contrôlable en temps fini T , avec des contrôles dans L 2 (0, T ; U).

1. On suppose que l’opérateur de contrôle est borné (i.e., B ∈ L(U, X)) et compact (i.e., l’image de la boule unité de U par B est relativement compacte).

On rappelle que L T : L 2 (0, T ; U ) → X est défini par L T u = R T

0 S(T − t)Bu(t) dt. Soit N ∈ IN ∗ quelconque; on pose t i = iT /N , i = 0 . . . , N. On définit l’opérateur

L T ,N u =

N−1

X

i=0

S(T − t i )B Z t

t

u(t) dt.

(a) Montrer que L T ,N : L 2 (0, T ; U ) → X est un opérateur compact.

(b) Montrer que la suite d’opérateurs (L T ,N ) N∈IN

converge (fortement) vers L T . (c) En déduire que L T est compact.

(d) Montrer que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L 2 (0, T ; U )).

2

2. On suppose que l’opérateur de contrôle est borné (i.e., B ∈ L(U, X )) et que le semi-groupe S(t) est compact pour tout t > 0.

Pour tout ε > 0, on définit l’opérateur L T ,ε : L 2 (0, T ; U ) → X par L T ,ε u = R T−ε

0 S(T − t)Bu(t) dt.

(a) Démontrer que L T ,ε converge (fortement) vers L T lorsque ε tend vers 0.

(b) Démontrer que L T ,ε = S(ε)L T −ε , et en déduire que L T ,ε est un opérateur compact, pour tout ε > 0.

(a) Montrer que _dt ^d V (x(t), y(t)) = u(t)(x(t) − 1).

Soit T > 0 un temps final fixé. Soit M > 0. On considère le problème de contrôle optimal suivant: trouver un contrôle optimal u défini sur [0, T ], vérifiant la contrainte 0 6 u(t) 6 M , minimisant (x(T ) − 1) ² + (y(T ) − 1) ² .

(b) Démontrer que p ⁰ 6= 0.

D(A ⁿ ) o .

Vect{A ⁿ Bu | u ∈ U _∞ , n ∈ IN} = X (2)

∀ψ ∈ D(A ^∗ ) ∀t ∈ [0, T ] B ^∗ S(T − t) ^∗ ψ = 0 ⇒ ψ = 0.

2. On pose K T = Vect{A ⁿ Bu | u ∈ U _∞ , n ∈ IN}. Soit ψ ∈ D(A ^∗ ) tel que B ^∗ S(T − t) ^∗ ψ = 0 pour tout t ∈ [0, T ].

où A : D(A) → X est un opérateur à domaine dense, engendrant un C 0 semi-groupe S(t), et B ∈ L(U, X ₋₁ ) est un opérateur de contrôle. (on rappelle que X ₋₁ ' D(A ^∗ ) ⁰ si X est réflexif)

Le but de l’exercice est de donner des conditions générales sous lesquelles le système (3) n’est jamais exactement contrôlable en temps fini T , avec des contrôles dans L ² (0, T ; U).

On rappelle que L T : L ² (0, T ; U ) → X est défini par L T u = R T

0 S(T − t)Bu(t) dt. Soit N ∈ IN ^∗ quelconque; on pose t i = iT /N , i = 0 . . . , N. On définit l’opérateur

(a) Montrer que L _{T ,N} : L ² (0, T ; U ) → X est un opérateur compact.

(b) Montrer que la suite d’opérateurs (L _{T ,N} ) _N∈IN

converge (fortement) vers L _T . (c) En déduire que L T est compact.

(d) Montrer que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).

Pour tout ε > 0, on définit l’opérateur L T ,ε : L ² (0, T ; U ) → X par L T ,ε u = R T−ε

(d) Montrer que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).

3. On suppose que X = X ⁰ et U = U ⁰ sont des Hilbert, et que A est un opérateur auto-adjoint strictement négatif d’inverse compact. On rappelle que X _1/2 = D(A ^1/2 ) est le complété de D(A) pour la norme p

hAx, xi, et X _−1/2 = X _1/2 ⁰ par rapport à l’espace pivot X. On suppose que l’opérateur de contrôle est tel que B ∈ L(U, X _−1/2 ) (autrement dit son degré de non bornitude est 6 1/2).

(a) Justifier (rapidement) que le système (3) est exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )) si et seulement s’il existe C > 0 telle que

kB ^∗ S(T − t) ^∗ ψk ² _U dt > Ckψk ² _X .

(b) Soit (φ _j ) _j∈IN

une base orthonormale de vecteurs propres de A associés aux valeurs propres λ _j < 0, avec λ _j → −∞ lorsque j → +∞.

kB ^∗ S(T − t) ^∗ φ _j k ² _U dt ∼

|λ j | kB ^∗ φ _j k ² _U = kB ^∗ (−A) ^−1/2 φ _j k ² _U . (c) Montrer que l’opérateur B ^∗ (−A) ^−1/2 ∈ L(X, U) est compact.

(d) En utilisant (et justifiant) le fait que φ _j converge faiblement vers 0 dans X, montrer que l’inégalité d’observabilité n’a pas lieu.

(e) En déduire que, pour tout T > 0, le système (3) n’est pas exactement contrôlable en temps T (avec des contrôles dans L ² (0, T ; U )).