LM270 UPMC 2012–2013 Examen du 15 mai 2013
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2012–2013 LM270, Examen du 15 mai 2013 (3h)
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Cet examen comporte5exercices et est not´e sur50.
Dans les exercices 1 et 2, (E, E) d´esigne un espace affine euclidien de dimension 3. On note (|) le produit scalaire sur E. On munitE d’un rep`ere orthonorm´eR= (O,B), o`u B = (e1, e2, e3), et l’on note (x, y, z) les coordonn´ees dans le rep`ere R. On oriente E par le choix de B. Pour d´eterminer un angle θ, on se contentera en g´en´eral de donner la valeur de cos(θ) et le signe de sin(θ); toutefois, si ±2 cos(θ)∈ {0,1,√
2,√
3,2}, on donnera θ sous la forme±pπ/q, avec p, q∈N×.
Exercice 1. (10 pts) Soitf :E → E l’application affine qui `a tout pointM(x, y, z) deEassocie le pointM0=f(M) de coordonn´ees :
x0 y0 z0
=1 3
−√ 6y+√
√ 3z
6x−y−√
√ 2z 3x+√
2y+ 2z
+
1−√
√ 3 2 1 +√
3
, et soit−→
f la partie lin´eaire def.
1. (0,5 pt) D´eterminer la matriceA= MatB(−→
f). On notera C1, C2, C3 ses colonnes.
2. (1,5 pt) En calculant explicitement les produits scalaires (Ci|Cj), pour 1≤i≤j≤3, montrer queA∈O(3).
3. (1,5 pt) D´eterminer la valeur de d´et(A).
4. (3 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deA.
5. (1 pt) D´eterminer le vecteurT =−−−−→
Of(O), puis sa projection orthogonaleusurD= Ker(A−I3).
6. (2,5 pts) D´eterminer l’ensemble D des points fixes de g = t−u ◦f, puis d´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques def.
Exercice 2. (10 pts) Soitf :E → E l’application affine qui `a tout pointM(x, y, z) deEassocie le pointM0=f(M) de coordonn´ees :
x0 y0 z0
=1 3
−2x−2y+z x−2y−2z
−2x+y−2z
+
5
−1 2
, et soit−→
f la partie lin´eaire def.
1. (0,5 pt) D´eterminer la matriceA= MatB(−→
f). On notera C1, C2, C3 ses colonnes.
2. (1,5 pt) En calculant explicitement les produits scalaires (Ci|Cj), pour 1≤i≤j≤3, montrer queA∈O(3).
3. (1,5 pt) D´eterminer la valeur de d´et(A).
4. (3 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deA.
5. (1 pt) Que peut-on dire de l’ensemble des points fixes def?
6. (2,5 pts) D´eterminer un point fixeI def, puis d´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques def.
Exercice 3. (5 pts) Soitu∈M11(R) un endomorphisme nilpotent tel que rang(u) = 7, rang(u2) = 4, rang(u3) = 2 et u4= 0.
1. (2 pts) D´eterminer la partitionqassoci´ee `a la suite des noyaux deuet dessiner son diagramme.
2. (1 pt) D´eterminer la partition transpos´eep= ˜q.
3. (2 pts) ´Ecrire la matrice de la forme normale de Jordan deu.
Dans les exercices 4 et 5, on note B = (e1, . . . , en) la base canonique de Rn. Si x, y ∈ Rn sont des vecteurs, on notera X, Y les vecteurs colonnes repr´esentant x et y dans la base B. Toute matrice S ∈ Mn(R) d´efinit un unique endomorphismeudeRn tel que MatB(u) =S et l’image d’un vecteurx∈Rn par cet endomorphisme sera simplement not´eeSx(le vecteur colonne correspondant estSX). Enfin, on rappelle que le produit scalaire standard surRn est d´efini par (x|y) =tXY.
Exercice 4. (17 pts) On munitRn du produit scalaire standard et l’on note k · k la norme euclidienne associ´ee.
SoitA∈Mn(R) non nulle.
1. (1,5 pt) En citant un th´eor`eme du cours, montrer qu’il existe une base orthonorm´eeC= (f1, . . . , fn) de Rn form´ee de vecteurs propres de la matriceS=tAA.
Notantλi la valeur propre associ´ee `afi, on suppose que λ1≥ · · · ≥λn . 2. (1 pt) Pour toutx, y∈Rn, montrer que (Ax|y) = (x|tAy).
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3. (1,5 pt) Pouri, j∈ {1, . . . , n}, montrer que (Afi |Afj) =λj(fi|fj). En d´eduire que (Afi |Afj) = 0 sii6=j et queλi≥0 pour touti.
Soitrle plus grand entier tel queλr>0 (et donc λj = 0 pourj > r). Pouri= 1, . . . , r, posonsvi= 1
√λi
Afi. 4. (2 pts) Montrer que Im(A) = Vect(F) et que la famille F = (v1, . . . , vr) est orthonorm´ee. En d´eduire que
r= rang(A).
5. (1,5 pt) Montrer queF se compl`ete en une base orthonorm´ee D= (v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn) deRn.Indica- tion : consid´erer l’orthogonal de Vect(F). On pourra admettre le r´esultat de cette question pour continuer l’exercice.
6. (2 pts) Pour toutv= Xn
i=1
xifi, ´ecrireAvdans la baseDet exprimerkAvk2en fonction desxiet desλi, pour i= 1, . . . , r.
7. (1 pt) Soitd∈ {1, . . . , r}. D´eduire de la question pr´ec´edente que siv∈Vect(f1, . . . , fd), on akAvk2≥λdkvk2. On fixe un entier positifs < r. Soitusl’endomorphisme deRn d´efini par us(fi) =p
λivi sii≤s, etus(fi) = 0 si i > s. SoitAs= MatB(us).
8. (1 pt) D´eterminer, en le justifiant, le rang deAs. 9. (1,5 pt) Pour toutv=
Xn
i=1
xifi, montrer quek(A−As)vk2≤λs+1
Xr
i=s+1
x2i ≤λs+1kvk2.
10. (2 pts) SoitB∈Mn(R). On suppose que rang(B)≤s. D’une part, montrer que le sous-espaceE= Ker(B)∩ Vect(f1, . . . , fs+1) est non nul. D’autre part, montrer que pour toutv∈E on a :k(A−B)vk2≥λs+1kvk2. 11. (2 pts) Pour toutM ∈Mn(R) on pose|kM|k = sup
x∈Rn−{0}
kM xk
kxk , ceci d´efinit une norme sur Mn(R) (on ne demandepasde d´emontrer cela). Montrer que pour toute matriceB∈Mn(R) de rang≤s, on a|kA−B|k ≥ pλs+1, puis montrer quep
λs+1=|kA−As|k.
Exercice 5. (8 pts) Soient φ et φ0 deux formes bilin´eaires sym´etriques sur Rn. On note S = MatB(φ) et S0 = MatB(φ0), o`uBest la base canonique deRn.On suppose que φest non d´eg´en´er´ee.
1. (2 pts) Dans cette question uniquement, on suppose qu’il existe une baseC deRn telle queD= MatC(φ) et D0= MatC(φ0) soient toutes deux diagonales. SoitP = MatB(C). ExprimerS,S0, puisS−1S0, en fonction de P et de D etD0, et en d´eduire queS−1S0 est diagonalisable.
On note (|) le produit scalaire standard surRn.
2. (1 pt) Pour toutx, y∈Rn, montrer que (x|Sy) =φ(x, y) = (Sx|y) et (x|S0y) =φ0(x, y) = (S0x|y).
D´esormais, on suppose que A =S−1S0 est diagonalisable. Notons λ1, . . . , λr ses valeurs propres, avec λi 6=λj si i6=j, et pouri= 1, . . . , rsoitVi= Ker(A−λiIn), alorsRn =V1⊕ · · · ⊕Vr.
3. (1 pt) Pour toutx, y∈Rn, montrer en utilisant la question pr´ec´edente queφ(Ax, y) =φ0(x, y) =φ(x, Ay).
4. (2 pts) Soienti, j ∈ {1, . . . , r} et soientx∈Vi et y∈Vj. En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que si i6=j, alorsφ(x, y) = 0 =φ0(x, y) et sii=j alorsφ0(x, y) =λiφ(x, y).
Pour chaque i∈ {1, . . . , r}, on noteφi (resp.φ0i) la restriction deφ(resp.φ0) `a Vi.
5. (2 pts) En utilisant la question 4, montrer queφ0i =λiφi pour tout i, puis montrer qu’il existe une base C deRn telle que MatC(φ) et MatC(φ0) soient toutes deux diagonales.Indication :consid´erer dans chaque Vi
une base orthogonale pourφi.
