LM270 UPMC 2011–2012 Examen 2`eme session
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2011–2012 LM270, Examen 2`eme session du 29 juin 2012 (3h)
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Cet examen comporte6exercices et est not´e sur75
Exercice 1(10 pts). On munitR3du produit scalaire standard(|)et l’on noteB= (e1, e2, e3)la base canonique.
On noteE=R3consid´er´e comme espace affine euclidien de dimension3. Soitsla sym´etrie orthogonale par rapport au plan affineP d’´equationx+y−2z= 1 et soientP la direction deP etσla partie lin´eaire des.
1. (4 pts) D´eterminer un vecteur−→n orthogonal `aP, puis choisir un pointI∈ P et pour tout pointM = (x, y, z) calculer le vecteur−−−−→
Is(M)puis d´eterminer les coordonn´ees(x′, y′, z′)du pointM′ =s(M).
Soittwla translation de vecteurw= 3e2 et soitg=tw◦s.
2. (2 pts) D´eterminer les projections orthogonalesv etudewsurD=P⊥ et P respectivement.
3. (4 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deg.
Exercice 2(14 pts). On munitR3du produit scalaire standard(|)et l’on noteB= (e1, e2, e3)la base canonique.
1. (1 pt) Soitrla rotation d’axe engendr´e et orient´e pare3 et d’angleπ/6. ´Ecrire la matriceR= MatB(r).
2. (1 pt) SoitA=
0 0 −1 1 0 0 0 1 0
∈M3(R). Montrer queA∈O(3)et calculerd´et(A).
3. (2 pts) ´Ecrire la matriceB=RA, montrer queB∈O(3)et calculerd´et(B).
4. (4 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deB. (L’angle `a trouverθn’est pas, a priori, de la forme qπ, avecq∈Q; pour le d´eterminer on se contentera de donner la valeur decos(θ)et le signe de sin(θ).) 5. (1 pt) SoitC= (f1, f2, f3)une base orthonorm´ee directe, o`uf3 appartient `aKer(B+I3)et l’oriente comme
dans la question pr´ec´edente (on ne cherchera pas `a calculer explicitement lesfi). Pouri = 1,2,3, exprimer Bfi dans la baseC.
6. (3 pts) SoientS∈O(3)et ul’endomorphisme deR3 tel queMatB(u) =SBS−1. SoitC= (f1, f2, f3)comme dans la question pr´ec´edente, et pouri= 1,2,3, soitfi′ =Sfi. Exprimeru(fi′)dans la baseC′ = (f1′, f2′, f3′), puis ´ecrire MatC′(u) et en d´eduire la nature et les caract´eristiques g´eom´etriques de u. (Pour l’angle θ′ de u, on distinguera les cas S ∈SO(3) et S ∈O−(3); lorsqueS ∈O−(3) on pourra remplacer C′ par la base D= (f1′, f2′,−f3′)ou bienD′ = (f1′,−f2′, f3′).)
7. (2 pts) D´eterminer la nature et les caract´eristiques g´eom´etriques deC=AR=R−1BR.
Exercice 3(12 pts). On munitR3du produit scalaire standard(|)et l’on noteB= (e1, e2, e3)la base canonique.
1. (3 pts) SoitA=1 4
3 √
6 −1
−√
6 2 −√ 6
−1 √
6 3
∈M3(R). Montrer queA∈O(3)et calculer d´et(A).
2. (4 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deA.
On note E =R3 consid´er´e comme espace affine euclidien de dimension3. Soitg : E → E l’application affine qui envoie tout pointM = (x, y, z)sur le pointM′= (x′, y′, z′), o`u
x′ y′ z′
=A
x y z
+
2 2 0
.
3. (1 pt) Quelle est la partie lin´eaire deg?
4. (4 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deg. (Soientw= 2e1+ 2e2,πDla projection orthogonale surD= Ker(A−I3), etu=πD(w), on pourra chercher les points fixes det−u◦g, o`ut−ud´esigne la translation de vecteur−u).
LM270 UPMC 2011–2012 Examen 2`eme session
Exercice 4 (15 pts). 1. (3 pts) Soientα, β ∈R et soit A ∈ Mp(R) une matrice diagonalisable. Montrer que αA+βIp est diagonalisable et exprimer ses valeurs propres en fonction des valeurs propresλ1, . . . , λp deA.
2. (1,5 pt) Soientn∈N×,B= (e1, . . . , e2n)la base canonique deR2n, q la forme quadratique surR2n d´efinie par :
q(x1, . . . , x2n) = 2(x1xn+1+x2xn+2+· · ·+xnx2n) =
n
X
i=1
2xixn+i, et soitφla forme polaire deq. ´Ecrire la matriceA= MatB(φ).
3. (2 pts) On suppose dans cette question quen= 1. ´Ecrire dans ce cas la matriceA et d´eterminer ses valeurs propres et une base orthonorm´ee(f, g)de vecteurs propres.
4. (3 pts) On revient au casnarbitraire. Soitul’endomorphisme deR2nassoci´e `aAet, pouri= 1, . . . , n, soitPi
le plan deR2n engendr´e pareieten+i. Montrer quePiest stable paruet, en utilisant la question pr´ec´edente, construire une base orthonorm´ee(fi, gi) de Pi form´ee de vecteurs propres de A. Puis ´ecrire la matrice de u dans la base C = (f1, . . . , fn, g1, . . . , gn) de R2n et d´eterminer ainsi les valeurs propres λ1, . . . , λ2n de A (compt´ees avec multiplicit´e).
5. (1,5 pt) Soientα, β∈R, avecα >0, soitQla forme quadratique surR2n d´efinie par : Q(x1, . . . , x2n) =
2n
X
i=1
β x2i +α q(x1, . . . , x2n) =
2n
X
i=1
β x2i + 2α(x1xn+1+x2xn+2+· · ·+xnx2n), et soitψ sa forme polaire. ´Ecrire la matriceB= MatB(ψ).
6. (4 pts) En utilisant la question 1), d´eterminer en fonction des valeurs deβla signature deQ(on rappelle que α >0). On indiquera en particulier dans quels casQest d´eg´en´er´ee.
Exercice 5 (12 pts). Soit S leR-espace vectoriel de toutes les suites r´eelles x= (xn)n∈N, soit c = (cn)n∈N une suite fix´ee, soitb∈R× et soitE =Ec={x∈ S | ∀n∈N, xn+2−2b xn+1+b2xn =cn}.
1. (3 pts) Expliquer par une phrase queEc est non vide, puis montrer queEc est un sous-espace affine deS, et d´eterminer sa directionE.
2. (3 pts) D´eterminerdim(E), puis montrer que la suite g´eom´etrique u= (bn)n∈N et la suitev = (nbn−1)n∈N
appartiennent `aE et sont lin´eairement ind´ependantes.
3. (2 pts) Soita= (an)n∈N l’´el´ement deE tel quea0= 1et a1= 2b, et soitC= (Cn)n∈N la suite d´efinie par :
∀n∈N, Cn=a0cn−2+a1cn−3+· · ·+an−2c0=
n−2
X
i=0
aicn−2−i=
n−2
X
i=0
an−2−ici
(en particulier, on aC0= 0 =C1). Sans chercher `a calculer la suitea, montrer queC appartient `aEc. 4. (1 pt) ´Ecrire l’´el´ement a∈E de la question pr´ec´edente comme combinaison lin´eaire des suites uet v de la
question 2), puis donner une formule exprimantan en fonction deb.
5. (1,5 pt) On prendci= (i+1)bi+2pour touti. On rappelle que
n−1
X
i=1
i= n(n−1) 2 et
n−1
X
i=1
i2=n(n−1)(2n−1)
6 ,
pour toutn∈N×. Donner alors une formule exprimantCn =
n−2
X
i=0
aicn−2−i en fonction deb.
6. (1,5 pt) Soitx= (xn)n∈N l’´el´ement deEc tel quex0 =b et x1=b2. ´Ecrirew=x−C comme combinaison lin´eaire des suitesuetv de la question 2), puis donner une formule exprimantxn en fonction deb.
Exercice 6(12 pts). On admet que, pour toutB ∈Mn(R), on aexp(tB) =texp(B). On noteAn(R)le sous-espace vectoriel deMn(R)form´e des matricesAqui sont antisym´etriques (i.e.tA=−A).
1. (3 pts) SoitA∈ An(R). Montrer, en le justifiant soigneusement, queexp(A)∈O(n).
2. (3 pts) SoitA ∈ An(R). On admet que la fonction φ:R→R, t7→d´et(exp(tA))est continue. En utilisant ceci, montrer queexp(A)∈SO(n).
3. (3 pts) SoitA =
0 −1 0
1 0 0
0 0 0
∈M3(C) et soit ul’endomorphisme de C3 d´efini par A. Soit (e1, e2, e3) la base canonique deC3. D´eterminer les valeurs propres deAet une baseC de C3 form´ee de vecteurs propres deA, puis ´ecrire les matricesA′= MatC(u)etP = MatB(C).
4. (3 pts) CalculerP−1 puis, en utilisant queP−1exp(tA)P = exp(tA′)pour tout t ∈R, calculerexp(tA) et montrer que c’est la matrice d’une rotation que l’on pr´ecisera.
