LM270 UPMC 2012–2013 Devoir 2
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2012–2013 LM270, Devoir 2 du 22 f´evrier 2013
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte4exercices et est not´e sur50
Exercice 1. (9 pts) Soientt∈RetA=
−1 1 0
−1−t 1 +t 0 2−t t−2 2
∈M3(R).
1. (2 pts) Calculer le polynˆome caract´eristique P = PA(X). (Ce polynˆome a trois racines r´eelles que l’on d´eterminera.)
2. (2 pts) Expliquer en le justifiant pour quelles valeurs deton peut affirmer sans calcul suppl´ementaire queA est diagonalisable.
Soient t1< t2 les deux valeurs detpour lesquelles un calcul suppl´ementaire est n´ecessaire.
3. (2,5 pts) Lorsquet=t1, d´eterminer siAest diagonalisable.
4. (2,5 pts) Mˆeme question lorsquet=t2.
Exercice 2. (8 pts) Pour toutn∈N×, soitAn ∈Mn(R) la matrice dont les coefficients diagonaux valent 1 et ceux au-dessus (respectivement en-dessous) de la diagonale valent 9 (respectivement 4). Ainsi,A1= (1),A2=
µ1 9 4 1
¶ ,
A3=
1 9 9 4 1 9 4 4 1
,A4=
1 9 9 9 4 1 9 9 4 4 1 9 4 4 4 1
, etc. On poseDn= d´et(An).
1. (6 pts) Montrer queDnest congru `a 1 modulo 36, i.e. queDn= 1 + 36f(n), pour un certain entierf(n). (On ne cherchera pas `a d´eterminer explicitementf(n)).Indication :proc´eder par r´ecurrence surnet d´evelopper Dn par rapport `a la premi`ere colonne.
2. (2 pts) Montrer queAn est inversible.
Exercice 3. (8pts) On consid`ere la forme quadratique suivante sur R4 :
q(x, y, z, t) = 2x2+ 8y2+ 2z2+ 8xy+ 4xz+ 10yz+ 3yt+ 5zt.
En utilisant l’algorithme de Gauss, ´ecrireqcomme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes et d´eterminer la signature de q.
Exercice 4. (25 pts) On munitRn du produit scalaire euclidien standard, d´efini par (x|y) =x1y1+· · ·+xnyn
six=
x1
... xn
ety=
y1
... yn
. On fixe un vecteur non nulv=
a1
... an
et l’on noteH = (Rv)⊥.
1. (2,5 pts) D´eterminer la dimension deH et donner une ´equation d´efinissantH.
2. (2,5 pts) Montrer queRn=Rv⊕H.
Tout x∈ Rn s’´ecrit donc de fa¸con unique x = πH(x) +λxv, avec πH(x) ∈ H et λx ∈ R. L’application πH est la projection orthogonale sur H, et l’on d´efinit σ, la sym´etrie orthogonale par rapport `a H, en posant σ(x) = πH(x)−λxv=x−2λxv.
3. (2 pts) Montrer que (λxv|v) = (x|v) et en d´eduire la valeur deλx.
4. (3 pts) Donner une formule exprimantσ(x) en fonction dex, (x|v), (v|v) etv.
On noteB= (e1, . . . , en) la base canonique deRn, qui est orthonorm´ee pour (|).
5. (3 pts) On suppose quen= 3 et quev =
2 2 1
. En utilisant la formule de la question pr´ec´edente, calculer σ(ei) pouri= 1,2,3 puis ´ecrire la matriceA= MatB(σ).
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6. (2 + 1 = 3pts) On fixeθ ∈R et l’on suppose que n= 2 et quev = µcosθ
sinθ
¶
. En utilisant la formule de la question 4, calculerσ(ei) pouri= 1,2 puis ´ecrire la matriceSθ= MatB(σ), en faisant apparaˆıtre cos(2θ) et sin(2θ).
On revient `a Rn, avecnarbitraire.
7. (2 pts) Montrer que, pour toutx∈Rn, on a :
(σ(x)|σ(x)) =λ2x(v|v) + (πH(x)|πH(x)) = (x|x).
8. (2 pts) Soienty, z∈Rn. En appliquant la question pr´ec´edente `ax=y+z, montrer que (σ(y)|σ(z)) = (y|z).
9. (1 pt) Montrer queσ◦σ= id.
10. (2 + 2 = 4 pts) Soit A = (aij)1≤i,j≤n = MatB(σ). Pour tout i, j, montrer queaij = (ei | σ(ej)) ; puis, en utilisant les questions pr´ec´edentes, montrer queaij =aji.
