LM270 UPMC 2012–2013 Devoir 3
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2012–2013 LM270, Devoir 3 du 8 mars 2013
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte7exercices et est not´e sur50
Pr´eambule. Dans les exercices 1 et 2, une matrice M ∈ O(3) ´etant donn´ee, «d´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deM »signifie : siM est une rotation, d´eterminer l’axe orient´e et l’angleθ, et siM est une rotation gauche (= anti-rotation), d´eterminer l’axe orient´e des anti-invariants et l’angleθ. Pour d´eterminerθ on donnera la valeur de cos(θ) et le signe de sin(θ). De plus, si±cos(θ)∈ {0,1
2,
√2 2 ,
√3
2 ,1}, on attend une r´eponse sous la forme θ=±pπ/q, avecq∈ {2,3,4,6} et 0≤p≤q.
Exercice 1. (10 pts) SoitA=1 9
1 −4 8
8 4 1
−4 7 4
∈M3(R).
1. (2 pts) Montrer queA∈O(3).
2. (2 pts) D´eterminer la valeur de d´et(A).
3. (6 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deA.
Exercice 2. (10 pts) SoitB =1 4
−1 √
6 −3
−√
6 2 √
6
−3 −√ 6 −1
∈M3(R).
1. (2 pts) Montrer queB∈O(3).
2. (2 pts) D´eterminer la valeur de d´et(B).
3. (6 pts) D´eterminer les caract´eristiques g´eom´etriques deB.
Exercice 3. (10 pts) On munitR3 du produit scalaire euclidien standard (|) et on note B= (e1, e2, e3) la base canonique. SoitS=
2 −1 −1
−1 1 0
−1 0 1
∈M3(R).
1. (2,5 pts) Citer un th´eor`eme du cours qui assure que S est diagonalisable. Que peut-on dire des espaces propres ? Quelle propri´et´e additionnelle peut-on imposer `a une base de vecteurs propres ?
2. (2 pts) Calculer le polynˆome caract´eristiquePS(X) et d´eterminer les valeurs propres λ1,λ2 etλ3 deS. (On prendraλ1≤λ2≤λ3.)
3. (3 pts) D´eterminer une base orthonorm´ee C = (v1, v2, v3) form´ee de vecteurs propres deS. On notera P la matrice de passage deB`aC.
4. (2,5 pts) SoitQla forme quadratique surR3 d´efinie par :
Q(x1, x2, x3) = 2x21+x22+x23−2x1x2−2x1x3
et soitφsa forme polaire. ´Ecrire MatB(φ) puis d´eterminer, en le justifiant soigneusement, la signature deQ.
Exercice 4. (5 pts) On munit R4 du produit scalaire euclidien standard (|). Soitv=
1 2 2 4
. 1. (1 pt) Donner une ´equation de l’hyperplanH = (Rv)⊥.
Soitσla sym´etrie orthogonale par rapport `aH.
2. (2 pts) Pour toutx∈R4, donner la formule exprimantσ(x) en fonction dex, (x|v), (v|v) etv.
On noteB= (e1, . . . , e4) la base canonique deR4, qui est orthonorm´ee pour (|).
3. (2 pts) Calculer (v | v) puis, en appliquant la formule pr´ec´edente successivement `a x=e1, . . . , e4, calculer σ(ei) pouri= 1, . . . ,4 puis ´ecrire la matrice A= MatB(σ).
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Exercice 5. (5 pts) On munit R4 du produit scalaire euclidien standard (|). On consid`ere les vecteurs :
v1=
1 1 1 1
, v2=
2 2 4 4
, v3=
2 0 3 3
.
1. (1 pts) Montrer que la famille (v1, v2, v3) est libre.
2. (1 + 1 + 2 = 4 pts) En utilisant le proc´ed´e de Gram-Schmidt, d´eterminer une famille orthonorm´ee (f1, f2, f3) de vecteurs deR4telle que (fi |vi)>0 et Vect(f1, . . . , fi) = Vect(v1, . . . , vi) pouri= 1,2,3.
Exercice 6. (4 + 2 = 6 pts) SoitQla forme quadratique surRn (avecn≥2) d´efinie par : Q(x1, . . . , xn) =x1x2+x2x3+· · ·+xn−1xn=
n−1X
i=1
xixi+1.
1. (4 pts) Dans les cas n= 2,3,4,5, utiliser l’algorithme de Gauss pour ´ecrireQ comme somme de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes et d´eterminer sa signature.
2. (2 pts) D´eterminer la signature de Q pour n arbitraire. (On pourra traiter s´epar´ement les cas n = 2p et n= 2p+ 1.)
Exercice 7. (2 + 2 = 4 pts) Pour chacune des permutations suivantes de l’ensemble {0,1, . . . ,9}, d´eterminez l’´ecriture en produit de cycles de supports disjoints. Puis, en justifiant soigneusement votre r´eponse, d´eterminez la signature deσet τ :
σ=
µ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 8 9 7 1 0 2 5 4 6
¶
, τ=
µ0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 8 4 9 0 7 2 3 1 5
¶ .
