LM270 UPMC 2011–2012 Devoir 1
Universit´ e Pierre et Marie Curie 2011–2012 LM270, Devoir 1 du 24 f´evrier 2012
Aucun document n’est autoris´e. L’utilisation de tout appareil ´electronique de calcul et des t´el´e- phones portables est interdite. Lorsqu’un calcul est demand´e, d´etaillez les ´etapes en indiquant les op´erations effectu´ees ; un r´esultat final correct mais non justifi´e par les ´etapes du calcul qui y m`enent, ne donnera qu’une partie des points. D’autre part, les correcteurs tiendront compte de la qualit´e de la r´edaction et de la pr´ecision des raisonnements. Ce devoir comporte5exercices et est not´e sur50
Exercice 1 (13 pts). Soient t ∈R et At =
1 2 t 2t
t t2+t t2 t2+t
0 t−1 2 t−1
t 2t t2+t 3t2−t
∈M4(R). D´eterminer, en fonction du param`etre t∈R, le rang deAt et une base de Im(At) et de Ker(At).
Exercice 2 (10 pts). SoitA=
1 −1 2 1
2 −1 3 4
1 −1 3 0
−1 2 −1 −2
∈M4(R). CalculerA−1en effectuant des op´erations sur les
colonnes ou bien les lignes.
Exercice 3 (10 pts). Soit B = (e1, e2, e3, e4) la base canonique de V = R4, soit V∗ l’espace dual de V et B∗= (e∗1, e∗2, e∗3, e∗4) la base duale deB.
1. (3 pts) Soit P le plan de V engendr´e par les vecteurs v1 = e1+ 2e2+e3+e4 et v2 = e2+e3+e4. Pour a1, a2, a3, a4 ∈R, sous quelles conditions la forme lin´eaire f =a1e∗1+a2e∗2+a3e∗3+a4e∗4 s’annule-t-elle sur P?
2. (4 pts) D´eterminer une base (f1, . . . , fd) du sous-espaceP⊥ = {f ∈ V∗ | f(v) = 0, ∀v ∈ P} de V∗ (o`u d= dimP⊥). Puis, de fa¸con ´equivalente, donnerd´equations lin´eaires, lin´eairement ind´ependantes, d´efinissant P.
3. (3 pts) Consid´erons maintenant les formes lin´eairesφ=e∗1+e∗2−e∗3 etψ=e∗1+e∗4. D´eterminer la dimension et une base du sous-espaceE={v∈V |φ(v) = 0 =ψ(v)} deV.
Exercice 4(11 pts). SoitEleC-espace vectoriel des suitesu= (un)n∈Nde nombres complexes v´erifiant la relation de r´ecurrence lin´eaire un+2+ 4un+1+ 4un= 0.
1. (4 pts) Montrer que l’applicationφ:E→C2, (un)n∈N7→(u0, u1) est lin´eaire, puis montrer queφest injective et surjective. En d´eduire la dimension deE.
2. (1 pt) D´eterminerλ∈C× tel que la suite g´eom´etriqueu= (λn)n∈Nappartienne `aE.
3. (2 pts) Soitv la suite d´efinie parvn=nλn, pour toutn∈N. Montrer quevappartient `aE.
4. (2 pts) Montrer que les suitesuet vsont lin´eairement ind´ependantes. Que peut-on en d´eduire ?
5. (2 pts) Soitwl’´el´ement de E d´efini parw0= 2 etw1=−2. Exprimerw en fonction deuet v, puis donner une formule explicite pour la valeur dewn, pour toutn∈N.
Exercice 5 (6 pts). Pour chacune des permutations suivantes, d´eterminer l’´ecriture comme produit de cycles de supports disjoints, puis la signature :
σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 5 8 9 7 3 2 1 4
¶
τ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 4 5 9 8 3 7 1 2
¶ .
