GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 4

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GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 4

ANDREAS HÖRING

1 . (Quelques propriétés des variétés kähleriennes)

a) Soit X une variété kählerienne compacte de dimension n, et soit ω une forme de Kähler sur X . Montrer que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, la classe de cohomologie

[ω

^k

] ∈ H

^k,k

(X) est non-nulle.

b) Soit i : Y ֒ → X une sous-variété d’une variété kählerienne. Montrer que Y est kählerienne, i.e. montrer que si ω est une forme de Kähler sur X , alors i

^∗

ω est une forme de Kähler sur Y .

c) Donner un exemple d’une submersion entre des variétés complexes f : X → Y telle que Y est Kähler, la ﬁbre X

y

:= f

⁻¹

(y) est Kähler pour tout y ∈ Y , mais X n’est pas Kähler.

d) Soit X une variété kählerienne de dimension n. Montrer que [∆

d

, L] = 0

et

[L, Λ]γ = (k − n)γ pour tout k-forme γ.

2 . (Variétés d’Iwasawa)

a) Soit X une variété kählerienne compacte. Soit ω ∈ H

⁰

(X, Ω

^p

) une p-forme holomorphe. Montrer que dω = 0.

b) Soit G le sous-groupe de GL

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( C ) formé par les matrices





1 x z

0 1 y

0 0 1



 ,

où x, y, z ∈ C . Soit Γ ⊂ G le sous-groupes des matrices telle que x, y, z ∈ Z [i].

Montrer que G/Γ a une structure naturelle de variété complexe compacte.

Montrer que dx, dy, dz −xdy ∈ H

⁰

(G, Ω

G

) induisent des 1-formes sur G/Γ. Déduire que G/Γ n’est pas kählerienne.

Date: 4th December 2008.

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(2)

3 . Soit X = C

ⁿ

/Λ une tore complexe.

a) Montrer que T

X

≃ O

^⊕n

X

.

b) Calculer les nombres de Hodge h

^p,q

pour tout p, q ∈ {0, . . . , n}.

4 . (Fibrés projectivisés)

Soit X une variété complexe de dimension n. Un ﬁbré projectif de rang r sur X est une variété complexe M munit d’une submersion surjective holomorphe π : M → X telle que

(1) pour tout x ∈ X , la ﬁbre M

x

:= π

⁻¹

(x) est isomorphe à P

^r

(2) pour tout x ∈ X, il existe un voisinage U de x et un biholomorphisme h : π

⁻¹

(U ) → U × P

^r

tel que

π|

_π−1(U)

= p

1

◦ h et pour tout x ∈ U ,

p

2

◦ h : E

x

→ P

^r

est un élément de P GL( C , r).

Soit (U

α

, h

α

) et (U

β

, h

β

) deux trivialisations locales de M . On pose g

αβ

: U

α

∩ U

β

→ P GL( C , r)

pour la fonction de transition

g

αβ

(x) = h

^x_α

◦ (h

^x_β

)

⁻¹

: P

^r

→ P

^r

.

Soit E un ﬁbré vectoriel holomorphe de rang r + 1 sur X qui est donné par des fonctions de transition g

αβ

: U

α

∩ U

β

→ GL( C , r + 1).

a) En utilisant l’application naturelle GL( C , r + 1) → P GL( C , r), montrer qu’on peut associer à E un ﬁbré projectif de rang r sur X qu’on appelera le ﬁbré projec- tivisé π : P (E) → X .

On déﬁnit le ﬁbré tautologique sur P (E) comme

O

_P_(E)

(−1) := {(x, y) ∈ P (E) × π

^∗

E | y ∈ C x}.

b) Montrer que O

_P(E)

(−1) est un sous-ﬁbré holomorphe de π

^∗

E. Montrer qu’une métrique hermitienne sur E induit une métrique hermitienne h sur O

_P_(E)

(1) telle que ( O

P(E)

(1)|

_π−1(x)

, h|

_π−1(x)

) est positif pour tout x ∈ X .

c) Montrer que si X est kählerienne compacte, alors P (E) est kählerienne compacte.

5 . (Extensions des ﬁbrés vectoriels) Soit X une variété complexe et soit

0 → S →

^φ

E →

^ψ

Q → 0

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une suite exacte de ﬁbrés vectoriels holomorphes. On dit que E est une extension de Q par S. Deux extensions sont équivalentes s’il existe un diagramme commutatif

0 S

IdS

E Q

IdQ

0 0 S F Q 0,

où F est également un ﬁbré vectoriel holomorphe. Le but de cet exercice est de montrer que les éléments de ˇ H

¹

(X, H om(Q, S)) sont en bĳection naturelle avec les classes d’équivalence des extensions de Q par S.

Notons d’abord que la suite exacte

0 → H om(Q, S)

^Id^Q∗

→

^⊗φ

H om(Q, E)

^Id^Q∗

→

^⊗ψ

H om(Q, Q) → 0 induit une suite exacte longue en cohomologie de Čech

. . . → H ˇ

⁰

(X, H om(Q, E)) → H ˇ

⁰

(X, H om(Q, Q)) →

^δ

H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)) → . . . On note [E] := δ(Id

Q

) ∈ H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)).

a) Montrer que [E] = 0 si et seulement si la suite exacte est scindée.

b) Soit e ∈ H ˇ

¹

(X, H om(Q, S)). Montrer qu’il existe une suite exacte 0 → S →

^φ

E →

^ψ

Q → 0

telle que [E] = e. Indication : pour déﬁnir le ﬁbré E, soit (U

α

)

α∈A

un recouvrement de Leray de X et soit (e

αβ

)

α,β∈A

un 1-cocycle de Čech qui représente e. On pose E|

Uα

:= S|

Uα

⊕ Q|

Uα

et pour les fonctions de transition

g

αβ

(s

β

, q

β

) = (s

β

+ e

αβ

(q

β

), q

β

).

c) Conclure.

Question bonus (cf. [Dem96, Ch.V.14]) : on munit E d’une métrique hermitienne.

Soit

β ∈ C

^∞

(X, Ω

^1,0

⊗ H om(S, Q))

la seconde forme fondamentale de S dans E et soit β

^∗

∈ C

^∞

(X, Ω

^0,1

⊗ H om(Q, S)) son adjoint. Montrer que ∂

Hom(Q,S)

β

^∗

= 0 et que la classe de cohomologie

[β

^∗

] ∈ H

¹

(X, H om(Q, S)) correspond à [E] sous l’isomorphisme de de Rham-Weil.

References

[Dem96] Jean-Pierre Demailly. Complex Analytic and Differential Geometry. http://www- fourier.ujf-grenoble.fr/ demailly/books.html, 1996.

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