1. Soit X une variété kählerienne de dimension n. Montrer que [∆ d , L] = 0

GÉOMÉTRIE KÄHLERIENNE ET THÉORIE DE HODGE FEUILLE D’EXERCICES 5

ANDREAS HÖRING

1. Soit X une variété kählerienne de dimension n. Montrer que [∆ _d , L] = 0

et

[L, Λ]γ = (k − n)γ pour tout k-forme γ.

2. (Variétés d’Iwasawa)

a) Soit X une variété kählerienne compacte. Soit ω ∈ Γ(X, Ω ^p ) une p-forme holo- morphe. Montrer que dω = 0.

b) Soit G le sous-groupe de GL ₃ ( C ) formé par les matrices





1 x z 0 1 y 0 0 1



 ,

où x, y, z ∈ C . Soit Γ ⊂ G le sous-groupes des matrices telle que x, y, z ∈ Z [i].

Montrer que G/Γ a une structure naturelle de variété complexe compacte.

Montrer que dx, dy, dz −xdy ∈ H ⁰ (G, Ω G ) induisent des 1-formes sur G/Γ. Déduire que G/Γ n’est pas kählerienne.

3. Soit X = C ⁿ /Λ une tore complexe.

a) Montrer que T _X ' O _X ^⊕n .

b) Calculer les nombres de Hodge h ^p,q pour tout p, q ∈ {0, . . . , n}.

4. (Décomposition de Lefschetz sur les formes)

Soit (X, ω) une variété kählerienne. On note L l’opérateur de Lefschetz et soit α ∈ C ^∞ (X, Ω ^k _X,

R ), k 6 n. Montrer qu’il existe une unique décomposition α = X

r

L ^r α r

telle que α _r est primitive de degrée k − 2r 6 k.

5. Une surface reglée S est une surface kählerienne compacte qui admet une sub- mersion f : S → C sur une courbe C telle que toutes les fibres S _c := f ⁻¹ (c) sont isomorphes à P ¹ . Montrer qu’une surface reglée est projective.

Date: 1st December 2009.

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Indication: commencer par montrer qu’on a une suite exacte 0 → T _S

→ T _S | _S

→ O S

→ 0.

On a donc K S | S

' O _P

(−2).

6. On veut calculer les groupes de cohomologie des fibrés en droites O P

(k) sur P ⁿ . a) Montrer que si k > −n, alors

H ^q ( P ⁿ , O P

(k)) = 0 ∀ q > 1.

b) Utiliser la dualité de Serre pour discuter le cas k 6 −(n + 1).

7. a) Utiliser le théorème de Lefschetz sur les classes (1, 1) pour montrer que le groupe de Néron-Severi d’un tore complexe X = C ⁿ /Λ s’identifie à l’ensemble des formes hermitiennes H = (h j,k ) j,k=1,...,n sur C ⁿ telle que

Im H(γ, γ ⁰ ) ∈ Z ∀ γ, γ ⁰ ∈ Λ.

b) Soient a, b, c, d ∈ R \ Q qui sont linéairement indépendants sur Q et tels que ad − bc ∈ R \ Q . Soit Λ ⊂ C ² le réseau engendré par les vecteurs

1 0

, 0

1

, ia

ib

, ic

id

.

Soit X := C ² /Λ. Montrer que Pic(X ) = Pic ⁰ (X ), c’est-à-dire le groupe de Néron- Severi est zéro.

c) Montrer qu’un tore complexe X = C ⁿ /Λ admet un fibré en droites holomorphe positif si et seulement si il existe une forme hermitienne H = (h _j,k ) j,k=1,...,n définie positive sur C ⁿ telle que

Im H(γ, γ ⁰ ) ∈ Z ∀ γ, γ ⁰ ∈ Λ.

Un tel tore est appelée une variété abélienne.

Indication : soit dµ une mesure de volume 1 sur X qui est invariante sous l’action de groupe. Soit ω une forme de Kähler sur X , alors ω est cohomologue à une forme de Kähler qui est à coefficients constants

ω(z) = ˜ Z

a∈X

τ _a ^∗ ω(z)dµ(a) = Z

a∈X

ω(z + a)dµ(a) où τ _a : X → X, z 7→ z + a est le morphisme de translation par a ∈ X.

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